17. Представление булевых функций в виде полинома Жегалкина. Теорема Жегалкина.

Многочлен от переменных х1,...xn(n≥1) над множеством функций {0,1,&,|+|^2} является многочленом первой степени относительно каждой переменной называют полиномом Жегалкина.

- общий вид

{i1,...ik}N={1,...n}

Теорема Любую булеву функцию можно представить в виде полинома Жегалкина.

Доказательство.

1)Представим булеву функцию в виде СДНФ. Возможны 2 случая:

1.Если f≡0, то соответствующий полином Жегалкина принимает вид a0=0;

2.используя закон де Моргана, выразим V в виде формулы над множеством функции {,&}

3)x=x|+|^(2)1 – избавились от отрицания

4)Получили формулу над множеством функций {0,1,&,|+|^2}

5)Преобразуем полученное выражение к виду полинома Жегалкина.

Даный способ построения полинома Жегалкина называется алгебраическим.

Теорема 2 Представление функции в виде полинома Жегалкина единственно.

Любой полином Жегалкина от n переменных однозначно определяется набором своих коэфициэнтов, длина набора 2^n. Всего полиномов Жегалкина 2^(2^n) Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между полиномами Жегалкина и булевыми функциями.

18. Классы т0, т1.

Т0 — класс функций, сохраняющих 0 fT0 <=>f(0,0,...,0,0)=0

T0 – x, &,V,|+|^2,0

T0 - x,≡,→,|,↓,1

Число наборов определяющих значение функции из класса Т0 равно 2^n-1

Т0 — замкнутый клас. Для того, чтобы показать это, достаточно показать, что элементарная суперпозиция функции, принадлежащей Т0, так же принадлежит класу Т0.

f0,f1,...fkT0

ФТ0?

Ф=(y1,...,yn)=f0(f(x11^0,...,x1k^0),...,fk(xk1^0,...,xkk^0))=f0(0,...0)

Т1 — класс функций сохраняющий 1

fT1 <=>f(1,1,...,1,1)=1

Т1 — x,1,&,V,≡,→

T1 - x,0,|+|^2,|,↓

Число булевых функций 2^n-1.[T1]=T1

19. Класс s.

Класс самодвойственных функций

fS <=>f=f*

S- x,x

S – 1,&,V,≡,→,0,|+|^2,|,↓

Самодвойственность функции проверяется по таблице истинности. Два набора называются противоположными, если все значения координат этих наборов противоположны.

На противоположных наборах самодвойственная функция принимает противоположные значения. f(x1,x2,...,xn)=f(x1,x2,...xn), поэтому для задания самодвойственной функции от n переменных 2^(2^n-1). Класс S замкнут. Достаточно доказать, что элемент суперпозиции самодвойственной функции является самодвойственной функцией.

Лемма о несамодвойственной функции. Если функция несамодвойственна, то из нее путем подстановки вместо переменных, тождественных функций и отрицания, можно получить константу.

20. Класс м.

М – класс монотонных ф-ций.

Пусть =(1,…,n) и =(1,…, n).

Набор  меньше набора  (<), {(< – такой треугольничек)} если 11, 22,…,nn. Например: (1001)<(1011).

< – рефликсивно, транзитивно, антисиметрично, т.е. это отношение частичного порядка, но в общем случае не линейного порядка. Ф-ция f наз. монотонной, или всегда из того, что < следует f()f().

входят: 0, 1, x, &, .

невходят: x, , , .

Для проверки ф-ции на монотонность необходимо проверить, что f()f() для всевозможных пар сравнимых наборов.

Класс мон. ф-ций замкнут: [M]=M.

Соотношение < индуцирует это же соотношение на всевозможных поднаборов  и .

(j1, j2, …,jij)<(j1, j2, …,jij).

Пусть i=fj(j1, j2, …,jij), i=fj(j1, j2, …,jij) тогда из того, что fjM, ij (j=1,k), т.е. < но f0M т.е. f0()f0(), а, значит Ф()Ф(). ч.т.д.

Лема о немонотонных ф-циях: Если ф-ция f немонотонна, то из нее путем подстановки вместо переменных констант и тождественной ф-ции можно подставить отрицание.

Пусть fM т.е. <: f()<f(), поэтому f()=1, f()=0. Покажем, что найдутся два соседних набора (по некоторой переменной)  и  такие, что <, а f()>f(). Предположим обратное: пусть < и они отличаются, например, по первым t переменным.

=(0, 0, …, 0, t+1,…,n)

=(1, 1, …, 1, t+1,…, n)

По  и  построим последовательность наборов (0)=, (1) – соседний с (0) по 1-й переменной, (2) – по 2-й переменной и т.д., (t)=.

=(0)<(1)<…<(t)=, причем f((0))>f((t)), поэтому в этой последовательности найдутся два соседних набора (i)<(i+1), а f((0))>f((i+1)).

Поэтому будем предпологать, что  и  – два соседних набора, для которых нарушается монотонность. Эти наборы можно найти по таблице истинности. Построим ф-цию (x)=( 1,…,i-1,x,i+1,…,n) (наборы и соседние по х).

(0)=( 1,…,i-1,0,i+1,…,n)=f()=1

(1)=( 1,…,i-1,1,i+1,…,n)=f()=0

т.е. (x)=x ч.т.д.