29. Маршруты. Цепи. Циклы. Связность.

Последовательность вершин графа G такая, что любые две соседние вершины в ней смежны, наз. маршрутом.Первая и последняя вершины – концевые. Маршрут, у к-го первая и последняя вершины совпадают наз. замкнутым, в противном случае – открытым. Маршрут, у к-го все рёбра различны наз. цепью. Замкнутая цепь – цикл. Цепь у к-й все вершины различны, наз. простой. Цикл, у к-го все вершины кроме первой и последней различны –простой. Граф наз. связным, если из любой его вершины можно попасть в любую по некоторому маршруту. Максимально по по вклюцению связный подграф графа G наз. компонентой связности.

Алгоритм распознования связности графа.

Пусть граф задан матрицей смежности. Необходимо выяснить, является ли он связным.G=(N,U), M-рабочее мн-во.

M:=. Выбираем произвольную вершину графа i и заносим её в M.

Формируем мн-во P всех таких вершин ккоторые не не вошли в M и каждая из которых смежна по крайней мере одной вершине из M.

Если P, то расширяем мн-во M: M:=MP и возвращаемся в п.2.

Если M=N, то исх. граф связен. Конец работы.

Иначе G – не связный граф и G(M) – компонента связности. Конец работы.

Оценим сложность работы алгоритма. Под сложностью работы алг. будем понимать число эл. действий, необходимых для его реализации. Оценим сложность алгоритма в виде ф-и от размерности графа. Пусть граф имеет k вершин. Предположим, что мы находимся на некотором шаге работы алгоритма. Оценим число действий, необх. Для построения мн-ва P. nM. Для постр. мн-ва P необходимо просмотреть всевозможные пары (i,j) и выбрать среди них такие, что iM, jM, (i,j)U. Число таких пар <=n2. Для построения мн-ва P потребуется <=n2 операций. Всего таких процедур <=n. Поэтому число эл. действий, необходимых для распознования связности графа ограничено n3, т.е. алгоритм имеет сложность порядка n3. (0(n3)).

30. Операции над графами