12. Эквивалентность формул. Свойства элементарных булевых функций.

Формулы U,V называются эквивалентными ( U=V), если они реализуют равные функции.

Свойства:

1) x1&x2=x2&x1

2) x1&(x2&x3)=(x1&x2)&x3

3) ,4) V,|+|^2

5)

6)

7)& и V

8)

9)

10)

11) x & x =x

12)

13)

14)

13. Двойственные функции. Принцип двойственности

Функция двойственная функция для функции f.

Функция, совпадающая со своими двойственными функциями, называется самодвойственной.

На противоположных наборах любая самодвойственная функция принимает разные значения.

По таблице истинности f* строится следующим образом: значения функции изменяются на противоположное (0 на 1;1 на 0), столбец значений переворачивается симметрично относительно середины таблицы.

f**=(f*)*=f

Принцип двойственности

если формула реализует функцию f, то формула U* реализует функцию f*.

U* - двойственная U

Следствие: если функция φ реализуется формулой над множеством функций L, то двойственная к ней функция φ* реализуется формулой над этим же множеством функций.

14. Разложение булевых функций по переменным. Сднф.

В ведём обозначение:

x, σ=1

<=> x=σ

Функция вида называется элементарной конъюнкцией, где - const

Функция вида называется элементарной дизъюнкцией, где - const

Теорема (о разложении булевых функций по переменным)

Любую булеву функцию можно представить в виде (1)

Соотношение (1) назывется разложением булевой функции по первым k переменным. Для доказательства достаточно показать, что подстановка любого набора в соотношение (1) дает тождество. f(a1,a2,...an)

В этой сумме отличными от нуля будут только те слогаемые, для которых ai=si. Такое слогаемое только одно и оно имеет вид

. Это верно для любого n.

Следствия

1)Разложение булевой функции по одной переменной:

2)Разложение булевой функции по всем n переменным имеет вид

Это СДНФ — совершенная дизъюнктивно нормальная форма

f=f(x1,...,xn); f представим в виде СДНФ.

f**=f

ai=si

СКНФ

Любую булеву функцию, не тождественную 1 можно представить в виде СКНФ.

15. Разложение булевых функций по переменным. СКНФ.(выше)

16. Полнота и замкнутость.

Система ф-ций DP2 наз. полной (ф-ционально полной), если любую бул. ф-цию можно представить в виде ф-лы над мн-вом ф-ций D. Например: Р2 {,&,}.

Теорема:

Если D – полная система ф-ций и любая ее ф-ция представима в виде ф-лы через ф-ции системы Т, то система ф-ций Т также полная. D={d1,d2,…,dn…}, T={t1,t2,…,tn…}.

Док-во:

Пусть f=(x1,x2,…xn) – некоторая ф-ция, f=(x1,x2,…xn)=С(di1,di2,…,dil).По

условию каждая из ф-ций dij представима в виде ф-лы над Т: dij=Сj(Т). Тогда f=(x1,x2,…xn)=С(Сi1(Т), Сi2(Т),…,Сil(Т)).

Пусть D={,&,}, Т={,&}.

1)Представляем в виде ДНФ.

2)=С1(,&), =С2(,&), &=С3(,&). х1х2=(х1х2) => Т– полная система ф-ций.

Пусть D – произвольное мн-во бул. ф-й. Замыканием мн-ва D [D] наз. мн-во бул. ф-ций, представимых в виде ф-лы через ф-ции системы D.

Т.е. если f[D], то либо fD, либо f=C(f1,f2,…,fk), fiD (i=1,k).

Система ф-ций DP2 полна тогда, и только тогда, когда ее замыкание совпадает с Р2. Распознование полных ф-циональных систем: Система ф-ций D наз. замкнутой (замкнутым классом), если она совпадает со своим замыканием: D=[D].