Практическая работа № 14

Тема: Измерение площади на плане с помощью плану геометрическим и аналитическим способами.

Цель: 1. Познакомить с геометрическим и аналитическим способами определения площади по плану;

2. Научить определять площади по плану геометрическим и аналитическим способами Оборудование: калькулятор, линейка, измеритель

План: 1.Теоретические данные

2. Практическая работа

1.Теоретические данные.

а) Определение площади графическим (геометрическим) способом

При определении площадей графическим способом участок, изображенный на плане, разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, реже -прямоугольники и трапеции. При этом криволинейные контуры заменяются отрезками прямых таким образом, чтобы площади участков вне фигур были бы приблизительно равны площади участков, расположенных внутри фигур.

В треугольниках измеряются высота и основание, в прямоугольниках - две стороны, в трапециях - два основания и высота или средняя линия и высота. Затем по соответствующим формулам геометрии вычисляются площади фигур, далее их суммируют и получают площадь участка. Площади вычисляются по следующим формулам:

S = S₁ + S₂ + … S_n

S_{треугольника} = a · h / 2

S_{трапеции, ромба} = [(a + b)/2] · h

S_{прямоугольника}= a · b

Для контроля и повышения точности площадь каждого треугольника вычисляется два раза по двум различным основаниям и высотам.

Так вычисляется площадь участка, изображенного на плане, чтобы получить площадь участка на местности, необходимо учесть масштаб плана, например масштаб 1: 25 000, 1 см = 0,25 км, значит 1 см² = 0,0625 км² , умножаем полученную площадь в см² (на плане) на 0,0625 - получим площадь участка на местности.

Допустимое расхождение между двумя результатами вычисления можно определить по формуле f=4·10^-5M , где М - знаменатель масштаба; S - средняя площадь фигуры, км².

Таблица 1. Ведомость определения площади многоугольника геометрическим способом

№ фи- гуры	№ изме­рения	Основа-ние треуголь­ника, а, м	Высота треуголь­ника, h,м	Площадь треуголь­ника S, км2	Среднее значение площади треугольника, км2	Допустимые расхождения по формуле, км2
1	2	3	4	5	6	7

б) определение площади аналитическим способом

Аналитический способ целесообразно использовать, когда измеряемая площадь имеет вид многоугольника и известны координаты всех его вершин.

В этом случае аналитический способ является наиболее точным, поскольку не требуе никаких дополнительных измерений на плане. Допустим, что необходимо определить площадь четырехугольника 1234, верщины которого имеют прямоугольные координаты х и y.

2S = x₁ (y₂ – y₄) + x₂(y₃– y₁) + x₃ (y₄ – y₁) + x₄ (y₁ – y₃)

S =0.5 ( );

S =0.5 ( );

Где - число вершин многоугольника (полигона); X_i-1 ; X_i ; X_i+1 – абсциссы соответственно предыдущей, данной и последующей вершин многоугольника; Y_i-1 ; Y_i ; Y_i+1 – ординаты соответственно тех же вершин. Контролем вычислений может служить выполнение равенств:

∑(X_i+1 – X_i-1) = 0 и ∑(Y_i+1 – Y_i-1) = 0.

Таблица 2. Ведомость определения площади многоугольника аналитическим способом (2S = 1 955 575 м²; S = 977 788 м² )