15. Определение произведения с теоретико-множественных позиций, связанного с понятием Декартового произведения множеств.

Теорема: пусть А и B конечные множества, тогда их Декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: n(AB)=n(A)*n(B).

С теоретико-множественной точки зрения а*б , есть число элементов в Декартовом произведении множеств A и B таких, что а=n(A), б=n(B), a*б=n(AB)=n(A)*n(B).

Пример: Сколько пуговиц нужно пришить на 3 таких пальто.

3множества-каждое пальто:

n()=n()=n()=4

n()=4+4+4=4*3=12

17. Определение частного целого неотрицательного числа на натуральное.

Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с = а:b, произведение которого и числа b равно а. Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое: а:b = са = с·b Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению. Всегда ли существует частное натуральных чисел a и b? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b≤а. Доказательство. Пусть частное натуральных чисел a и b существует, т. е. существует такое натуральное число с, что а = с·b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1≤с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b≤c·b. Поскольку с·b = а, то b≤а. Теорема доказана. Чему равно частное, а = 0 и натурального числа b? По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с·b = 0. Так как b ≠ 0, то равенство c·b = 0 будет выполняться при с = 0. Следовательно, 0:b = 0, если bN. Теорема. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

19. Натуральное число, как мера отрезка.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок х состоит из от­резков , ,…, , если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки , ,…, и пишут х = +О +О

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины X данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: X = а*Е или а = (Х).

Например, отрезок х состоит из 6 отрезков, равных отрезку е. Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х- буквой Х, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = (Х).

Из данного определения получаем, что ­что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

1. При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать дли­ну отрезка е₁, (рис. 120), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: X = 3 ∙ Е ₁ или mE (X) = 3.

2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отре­зок у - из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального чис­ла и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.