11. Понятие натурального числа и нуля с точки зрения теоретико-множественного подхода. Примеры.

Хотя количественные числа являются, как бы вторичными по отношению к порядковому числу тем не менее исторически оно появилось ранее.

Если множествами А и B соответствует одно и тоже число A то это означает, что они взаимно однозначно отображаются друг на друга и на один и тот же отрезок N ряда.

Определение. 2 множества взаимно однозначно отображающиеся друг друга называются равномощными или множества A и B содержит поровну элементов т.к конечных множеств распадается на классы равномощных множеств.

Пример: в один из классов поедет множество сторон треугольника, его вершины, букв в слове дым;

В другом множестве сторон четырехугольника его вершин, множества может стола и др.

Общее у всех множеств одного класса

• Это число элементов так N число «три»

• Общее свойство класса множества равномощных множеству сторон треугольника

Теоретико-множественное истолкование числа «ноль» заключается в том, что оно ставится в соответствии пустому множеству() то есть 0=n()

Класс равномощных конечных множеств задается отрезком N ряда чисел.

Пример: класс конечных множеств содержащих множество вершин квадрата задается отрезками N ряда =

В начальной школе изучение математики начинается с усвоения отрезка N ряда т.к чтобы определить число соответствующее множеству А прибегают к счету, а для этого нужны некоторые отрезок N ряда.

13. Отношение «равно», «меньше», «больше» на множестве целых неотрицательных чисел ().

Отношение равенства целых неотрицательных чисел обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивность.Любое целое неотрицательное число равно са­мому себе, т.е. а = а.

2. Симметричность.Если число а равно числу в, то и число в равно числу а, т.е. если а = в, то в = а.

3. Транзитивность.Два числа, равные третьему, равны между собой, т.е. если а = в и в = с, то а = с.

Доказательство.Каждое из этих свойств вытекает непосредственно из одноименного свойства отношения равномощности множеств и определения равенства натуральных чисел.

Следствие.Отношение равенства целых неотрицательных чисел яв­ляется отношением эквивалентности.

Из определения отношения «меньше» в аксиоматической теории(число а меньше числа б, если существует такое N число с, что а+с=б), в силу транзитивного закона имеем, что а<б то из того что хахб, а это значит что при а<б отрезок это подмножество (беттое) и обратное если, - собственное подмножество , то а<б.

Определение. (теоретико-множественная трактовка) а<б в том и только в том случае когда отрезок является собственным подмножеством отрезка .

Пример:

Справедливость 4<8 вытекает из того что отрезок N ряда и подмножеством отрезка ряда то есть .

Свойства отношения «меньше» для N чисел имеют такую трактовку теоретико-множественном подходе:

1. Транзитивность АB, BC AC

2. Антисимметричность если AB, то BА.

3. Справедливость утверждающего, что 0<а для любого аN вытесняет из того, что в любой отрезок ()

"отношение больше трактуется, так же как и меньше(Если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и n{А} = а, n(В) = в, говорят, что число а меньше числа в, и пишут а < в. В этой же ситуации говорят, что в больше а, и пишут в > а.)"