- •3. Определение «умножения» с точки зрения различных подходов к построению множества целых неотрицательных чисел(). С примерами.
- •5. Определение вычитания с позиций различных подходов к построению множества целых неотрицательных чисел.
- •7. Доказательство теоремы невозможности деления на «0».
- •11. Понятие натурального числа и нуля с точки зрения теоретико-множественного подхода. Примеры.
- •13. Отношение «равно», «меньше», «больше» на множестве целых неотрицательных чисел ().
- •15. Определение произведения с теоретико-множественных позиций, связанного с понятием Декартового произведения множеств.
- •17. Определение частного целого неотрицательного числа на натуральное.
- •19. Натуральное число, как мера отрезка.
- •21. Задача расширения понятия числа.
- •23. Множество целых чисел. Свойства множества целых чисел и их геометрическую интерпретацию.
- •25. Арифметические действия над рациональными числами.
- •27. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними.
- •29. Действительные числа. Понятие иррациональных чисел.
- •31. Арифметические действия над действительными числами.
- •33. Правило округления чисел и арифметические действия с приближёнными числами.
11. Понятие натурального числа и нуля с точки зрения теоретико-множественного подхода. Примеры.
Хотя количественные числа являются, как бы вторичными по отношению к порядковому числу тем не менее исторически оно появилось ранее.
Если множествами А и B соответствует одно и тоже число A то это означает, что они взаимно однозначно отображаются друг на друга и на один и тот же отрезок N ряда.
Определение. 2 множества взаимно однозначно отображающиеся друг друга называются равномощными или множества A и B содержит поровну элементов т.к конечных множеств распадается на классы равномощных множеств.
Пример: в один из классов поедет множество сторон треугольника, его вершины, букв в слове дым;
В другом множестве сторон четырехугольника его вершин, множества может стола и др.
Общее у всех множеств одного класса
-
Это число элементов так N число «три»
-
Общее свойство класса множества равномощных множеству сторон треугольника
Теоретико-множественное истолкование числа «ноль» заключается в том, что оно ставится в соответствии пустому множеству() то есть 0=n()
Класс равномощных конечных множеств задается отрезком N ряда чисел.
Пример: класс конечных множеств содержащих множество вершин квадрата задается отрезками N ряда =
В начальной школе изучение математики начинается с усвоения отрезка N ряда т.к чтобы определить число соответствующее множеству А прибегают к счету, а для этого нужны некоторые отрезок N ряда.
13. Отношение «равно», «меньше», «больше» на множестве целых неотрицательных чисел ().
Отношение равенства целых неотрицательных чисел обладает следующими свойствами:
1. Рефлексивность.Любое целое неотрицательное число равно самому себе, т.е. а = а.
2. Симметричность.Если число а равно числу в, то и число в равно числу а, т.е. если а = в, то в = а.
3. Транзитивность.Два числа, равные третьему, равны между собой, т.е. если а = в и в = с, то а = с.
Доказательство.Каждое из этих свойств вытекает непосредственно из одноименного свойства отношения равномощности множеств и определения равенства натуральных чисел.
Следствие.Отношение равенства целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности.
Из определения отношения «меньше» в аксиоматической теории(число а меньше числа б, если существует такое N число с, что а+с=б), в силу транзитивного закона имеем, что а<б то из того что хахб, а это значит что при а<б отрезок это подмножество (беттое) и обратное если, - собственное подмножество , то а<б.
Определение. (теоретико-множественная трактовка) а<б в том и только в том случае когда отрезок является собственным подмножеством отрезка .
Пример:
Справедливость 4<8 вытекает из того что отрезок N ряда и подмножеством отрезка ряда то есть .
Свойства отношения «меньше» для N чисел имеют такую трактовку теоретико-множественном подходе:
1. Транзитивность АB, BC AC
2. Антисимметричность если AB, то BА.
3. Справедливость утверждающего, что 0<а для любого аN вытесняет из того, что в любой отрезок ()
"отношение больше трактуется, так же как и меньше(Если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и n{А} = а, n(В) = в, говорят, что число а меньше числа в, и пишут а < в. В этой же ситуации говорят, что в больше а, и пишут в > а.)"