Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика УНК 1 курс экз / нечетные ответы.docx
Скачиваний:
113
Добавлен:
25.05.2019
Размер:
56.83 Кб
Скачать

1. Понятие об аксиоматическом методе построении теории. Аксиомы Пеано

При аксиоматическом построении теории выбирают не определенные понятия, принимая их за исходные, а так же отношения между ними и называют их основными понятиями.

Все остальные понятия должны быть строго определены, затем формулируется высказывание выражающие свойства этих понятий и отношений. Эти высказывания (предложения) называются аксиомами данной теории. Аксиомы принимаются без доказательства, но на их основе доказываются другие предложения данной теории, которые называются теоремами.

В аксиоматической теории аксиомы не доказываются, однако, аксиомы являются отражением деятельности людей, что обуславливает их справедливость.

Система аксиом должна удовлетворять следующим требованием:

А) Непротиворечивой т.е делая выводы из данной системы аксиом никогда не придёт к противоречию

Пример:

  1. Для любого а существует элементы б такой, что аб

  2. Не для одного а не выполняется, что аа

  3. Если абба

  4. Если аб и бс (то) ас

Возьмем (эквивалент) а ему найдется б (1 аксиома) по аксиоме (3) абба

По аксиоме (4) аб и ба аа (противоречие с аксиомой 2)

Никакая аксиома не должна быть следствием остальных аксиом этой системы т.е она должна быть независимой.

При построении теорем можно использовать различные системы аксиом но они должны быть равносильными.

Аксиомы Пеано. За основным отношением было взято непосредственно следовать за.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем назы­вать его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единствен­ный элемент а, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более од­ного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4.Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а со­держится в М, следует, что и а' содержится в М.

3. Определение «умножения» с точки зрения различных подходов к построению множества целых неотрицательных чисел(). С примерами.

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение N чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия.

Основное понятие: Если для любого N числа умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство, а 1 = а. Теперь разберем, как умножить а и б, где б

Пример:

Если известно, что 7 5 = 35, то для нахождения произведения 7 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 6 = 7(5 + 1) = 7 5 + 7. Т.е нужно знать а и числа за которыми следует б+1 т.е а(б+1)= а*б+а= а*б= a*б+а

Определение. Умножением N чисел называется алгеб­раическая операция, определенная на множестве N чисел обладающая свойствами:

1) ( а N) а 1 а.

2) ( а, b N) а b' = а b+а.

Число а b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b- множителями.

Определение. Умножение определяется так же, как и для N чисел причем считают, что () 0*a=a*0=0.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она, поэтому существует теорема. Теорема 1 сложение(умножение) N чисел существует и оно единственно.

5. Определение вычитания с позиций различных подходов к построению множества целых неотрицательных чисел.

По аксиоматической теории N чисел вычитание определяется, как операция обратная сложению.

Определение. Вычитанием N чисел а и б называется операция, удовлетворяющая условию: а-б=с тогда и только тогда, когда б+с=а.

Число а-б называется разностью чисел а и б, число а- уменьшаемым, а число б-вычитаемым.

Для чисел считают, что для любого () a-0=a/

Для чисел изменяется условие существования разности: чтобы существовала разность чисел а и б необходимо и достаточно, чтобы было ба.

7. Доказательство теоремы невозможности деления на «0».

Доказательство. Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а 0, Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, найдется такое целое неотрицательное число c, что а с =0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а 0 и b = 0 не су­ществует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное а = 0 и b = 0 существуют, и тогда найдется такое целое неотрицательное число с, что выполняется равенство 0 = с0, истинное при любых значениях с.

Таким образом, частным чисел а = 0 и b= 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому деление нуля на нуль также невозможно.

9. Свойства множества целых неотрицательных чисел ).

Множества N чисел обладает свойствами:

1. оно бесконечно

2. Упорядочено при помощи отношений «меньше»

3. Дискретное

4. в нем есть наименьшее число единица.

Свойства множеств N чисел:

1. для всех N чисел 1/ед является наименьшим числом т.к а`=а+1=1+а

а<а' и 1<а'

2. свойства дискретности множества N чисел(а и а+1 – называются соседними) т.е не для одного N числа а нет такого N числа n, что n стоит между a<n<a+1

3. упорядоченное множество т.к для любых 2х Nчисел а и б имеет место одной из следующих соотношений: либо а= либо а<б либо а>б

Определение. Число а меньше числа б(а<б) тогда и только тогда, когда существует такое N число C что, а+с=б.

Если а<б, то говорят б>а, а пишут б>а.

Для того чтобы множество считалось упорядоченным нужно чтобы отношения меньше было транзитивным и антисимметричным.