§1.6. Дискредитация (квантование) по времени или по текущей координате

Для удобства изложения будем считать сигнал динамическим сигналом (t – текущее время), хотя все ниже приведенные рассуждения будут справедливы и для статических сигналов, для которых t – текущая пространственная координата.

Непрерывный сигнал может быть преобразован в непрерывный сигнал дискретного аргумента путем взятия отсчетов мгновенных значений (выборок) через интервалы времени , , и т.д. (рис.1.5).

Такое преобразование называют дискретизацией или квантованием по времени. Полученный в результате сигнал называют квантованным по времени, и он представляет собой последовательность отсчетов мгновенных значений, взятых в дискретные моменты времени.

Интервалы дискретизации , , и т.д. могут быть различны, хотя с практической точки зрения их часто берут одинаковыми

, . (1.17)

В этом случае говорят, что дискретизация по времени производится с постоянным шагом.

Для аналитического описания процесса дискретизации по времени используют импульсную функцию дискретизации , которая представляет собой периодическую последовательность -функций, то есть:

, (1.18)

где – дельта-функция;

k - номер дельта-функции в последовательности;

- период следования дельта-функции;

Следует отметить, что дельта-функция определяется следующим образом:

(1.19)

причем площадь, ограниченная -функцией равна 1, то есть

. (1.20)

Процесс дискретизации по времени непрерывного сигнала может рассматриваться как умножение этого сигнала на импульсную функцию дискретизации , то есть

. (1.21)

Учитывая то, что функция отлична от 0 только в моменты времени , выражение (1.21) может быть записано в следующем виде

. (1.22)

Отсюда следует, что умножение непрерывного сигнала на -функцию приводит к тому, что площадь, ограниченная -функцией становиться численно равной значению сигнала в момент времени . Эту площадь обычно называют весом -функции и он равен мгновенному отсчету сигнала в момент времени .

Таким образом, процесс дискретизации по времени соответствует образованию периодической последовательности -функций, вес каждой составляющей которой численно равен мгновенным значениям сигнала в момент взятия отсчета.

При практическом выполнении дискретизации по времени, естественно, возникает вопрос:

каков должен быть оптимальный интервал дискретизации , чтобы можно было восстановить по квантованному сигналу исходный непрерывный сигнал с достаточной точностью. Действительно, если интервал дискретизации будет достаточно велик, это приведет к большим погрешностям восстанавливаемого непрерывного сигнала в промежутках между отсчетами, а если интервал дискретизации будет мал, то это значительно увеличит число отсчетов и, следовательно, увеличиться объем обрабатываемых данных.

Для реальных сигналов, то есть таких сигналов, у которых длительность (Т) конечна, максималльная частота в спектре ( ) и мощность сигнала ограничены из-за инерционности и ограниченности по мощности реальных источников сообщений, оптимальный интервал дискретизации может быть определен на основе теоремы Котельникова (теорема отсчетов), доказательство которой приведено в Гл. . Из этой теоремы следует, что непрерывный сигнал длительности Т и не содержащий частот в спектре выше полностью определяется последовательностью своих раноотстоящих мгновенных значений, взятых с интервалом , общее число которых не превышает N, причем

; (1.23)

.

Исходный непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по квантованному сигналу в соответствии с уравнением

, (1.24)

причем предварительно квантованный сигнал должен быть пропущен через фильтр с верхней границей пропускания равной _.

Дискретизация по времени является неотъемлемой и ответственной частью аналого-цифрового преобразования, нарушения при проведении которого ёведет к появлению шумов и погрешностей дискретизации, причем можно выделить несколько причин их появления.

Во-первых, из-за инерционности реальных устройств, процесс дискретизации по времени осуществляется ни на основе последовательности дельта-функций (как того требует соотношение (1.21)), а на основе последовательности импульсов конечной длины , близким по форме к прямоугольным. Поэтому результат дискретизации по времени можно представить в виде:

. (1.25)

Различия в спектрах последовательности -функций и последовательности конечных импульсов ведут к искажению спектра квантованного сигнала и, как следствие, к искажению восстанавливаемого непрерывного сигнала .

Второй причиной появления шумов и погрешностей является неограниченность спектра или наличие в спектре сигнала частот, превышающих априорно максимальную ( ). В этом случае условие теоремы Котельникова нарушается, и частотные составляющие непрерывного сигнал с частотами, большими половины частоты отсчетов создают помеху – так называемый «шум дискретизации».

Еще одна возможность появления шумов в процессе дискретизации возникает при дискретизации изображений или сигналов хотя и с ограниченным спектром, но зашумленных «белым шумом», для которого . В этом случае отдельные отсчеты слишком далеко отстоят друг от друга и они могут нести в себе вклад как от высоких частот белого шума, так и от низких частот исходного сигнала. Это явление носит название маскировки частот и представляет собой источник ошибок, присущий только цифровым системам обработки.

Для устранений явления маскировки частот и шума дискретизации необходимо выбирать интервал дискретизации ( ) из наивысшей частоты , возможной в квантуемом непрерывном сигнале . Кардинальный метод борьбы с этими явлениями заключается в фильтрации сигналов до процесса дискретизации по времени таким образом, чтобы составляющие с частотами, нарушающие условие теоремы Котельникова, отсутствовали.

Рассмотренные методы дискретизации по времени с постоянным шагом ( ) всегда подразумевает априорные сведения о характеристиках сигнала, в частности . Эти методы отличаются простотой, так как нет необходимости регистрировать моменты взятия отсчетов. Однако несоответствие интервала дискредитации ( ) конкретным текущим характеристикам квантуемого сообщения или отклонение этих характеристик от априорных ведет к избыточности отсчетов.

Наряду с дискретизацией с постоянным шагом, которую часто еще называют равномерной дискретизацией, существует и неравномерная дискретизация, при которой интервал дискретизации может изменяться либо по случайному закону, либо в соответствии с изменениями характеристик квантуемого сигнала. Последний вид дискретизации часто называют адаптивной дискретизацией. Методы адаптивной дискретизации более сложны в алгоритмическом смысле и в технической реализации, однако они позволяют существенно уменьшить избыточность отсчетов, что очень важно при обработке больших потоков информации.