3.1.1.2 Представлення чисел у формі з плаваючою комою
Іншою найбільш поширеною формою є представлення чисел у формі з плаваючою комою. В цьому випадку в нормальній формі число записується як:
де N – машине нормалізоване число;
m – мантиса числа;
p – порядок (характеристика) числа.
Таке уявлення, в загальному випадку, не є однозначним. Тому, для нормалізованого числа вводять, як правило, обмеження. Найбільш зручною і поширеною є вимога вигляду:
3.1,
где q – основа системи числення.
Правило. Нормалізованою формою представлення чисел є форма числа, яка задовольняє умові 3.1.
В цьому випадку абсолютне значення мантиси може бути в межах від 0,1*q-1 до ( 0,1*q-1+0,1*q-2+…+0,1*q-n), т.б. до 1, якщо n прямує до нескінченності, де n – кількість розрядів запису мантиси (без знаку).
Формат машинного відображення чисел з плаваючою комою представлений на рисунку 5.2 для 16-ти розрядної сітки.
Положення коми не постійне і залежить від записаного в розряди “Порядку” числа. Така форма представлення числа в комп’ютері називається форматом з плаваючою комою (крапкою).
Формат предсталення цілої частини числа, визначається знаком порядку і числом порядку, може змінюватися. Але завжди формат числа повинен містити знак числа, мантису, знак порядку, порядок. Порядок визначає скільки розрядів мантиси після знаку необхідно відрахувати, щоб поставити кому відокремлюючу дробову частину числа.
Отже, перш ніж записати число в цифровий автомат з його розрядною сіткою, це число нормалізують, тобто приводять до вигляду, коли в старшому розряді мантиси стоїть 1. Решта всіх форм називає ненормалізованими.
Порядок – це показник степені, на яку потрібно помножити або розділити (для від’ємного знаку порядку) мантису для отримання цілої частини числа.
При нормалізації, число зсувають управо (якщо є ціла частина числа) або вліво (до встановлення одиниці після знаку числа). При зсуві вправо порядок (тобто степінь основи) збільшується з кожним зсувом на +1. При зсуві вліво порядок зменшується кожного разу на -1.
Приклади. Записати двійкове число+0011101,011 в нормальній формі.
+0011101,011
= 0,11101011*25
= 00.111010110.00.101
При записі мантиси і порядку, зручно щоб старший розряд був зліва. Іноді розташування старших розрядів обумовлюють особливо.
Оскільки, основа 2(10)= 010(2) завжди постійна, то її запис в характеристиці числа опускається.
3.1.2 Похибки представлення чисел
Виконання обчислень із числами у форматі з плаваючою комою (особливо арифметичної операції ділення) часто призводить до появи похибки в розрахунках, величина яких залежить від обмежень, що накладаються на автомат по розрядній сітці, формі представлення чисел і т. ін.
3.1.2.1 Абсолютна похибка представлення чисел
Абсолютна похибка обчислень N це різниця між дійсним значенням числа N і його значенням, що отримане після машинного відображення, операцій і т.ін. Nm
Наприклад: двійкове число +11,00111000111 при n = 16 і KФ=2k, k=6, тоді Nm = 0.000011001110001 [останні два розряди 11 – втрачені]. Перевівши у десяткові числа, отримаємо
N = 11,00111000111 = 3,2221678
Nm =0.000011,001110001 = 3,2207031
N = N – Nm = 3,2221678 – 3,2207031 = 0,0014647
Правило. Максимальна похибка N для чисел формату з фіксованою комою не перевищує одиниці молодшого розряду сітки.