- •Опорный конспект, второй семестр (дополнение) обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Интегрируемые оду первого и второго порядков
- •Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Численное решение задачи Коши для оду
- •Функциональные преобразователи и схемы
- •Опр Логические формулы называются равносильными, если соответствующие им булевы функции совпадают.
- •Замечание (свойства унарных и бинарных операций):
- •Ортогональные системы функций и ряды Фурье
- •Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. Год, утс-11, уэл-11, уба-11,12
- •Вопросы ко второму блоку, 2011-2012 уч.Год
- •Типы задач для экзамена
Ортогональные системы функций и ряды Фурье
Опр Бесконечная последовательность элементов евклидова пространства называется ортогональной, если ее элементы попарно ортогональны: , и ортонормированной, если дополнительно эти элементы нормированным: , то есть .
Обозначение - пространство функций имеющих разрывы первого рода на отрезке и правые и левые производные в каждой точке непрерывности.
- скалярное произведение в .
Пр 1 Последовательность ортонормирована в пространстве , а в последовательность ортогональна в
.
◄ Например, при
.►
Обозначение - формула Эйлера (короткое обозначение комплексного числа вида . -сопряженное к комплексному числу .
Пр 2 Последовательность функций , ортонормированна относительно скалярного произведения на множестве комплекснозначных функций .
Опр Пусть -ортогональная последовательность в евклидовом пространстве . Числа , называются коэффициентами Фурье элемента по системе . Сумма называется -ой частичной суммой, а ряд - рядом Фурье элемента .
Пр Ряд , где
называется тригонометрическим рядом Фурье функции по ортогональной системе с коэффициентами . Ряд , где , называется рядом Фурье в комплексной форме функции по ортогональной системе с коэффициентами .
Опр Член называется -ой гармоникой тригонометрического ряда . Если положить и определить угол из системы , то -ю гармонику можно записать в виде .
Опр Пусть есть тригонометриче ский ряд Фурье -периодической функции . Последовательность или называется спектром периодической функции ; - амплитудой -ой гармоники; - фазой -ой гармоники. - основная частота; - -ая гармоническая частота. - основная круговая частота; - -ая круговая частота функции .
ТЕОРЕМА 8.2 (свойства поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье) 1) Пусть ортонормированная последовательность в вещественном евклидовом пространстве . Для каждого элемента существует единственный "многочлен" степени , отклонение которого от элемента будет наименьшим . 2) Для каждого элемента гильбертова про-ва его ряд Фурье сходится по норме . Для того, чтобы он сходился к самому элементу, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство Парсеваля . 3) Для функции ее тригонометрический ряд Фурье в каждой точке сходится к числу . 4) В условиях предыдущего пункта представима в этом же смысле в виде ряда Фурье в комплексной форме , причем и коэффициенты связаны равенством . 5) Если функция четная (нечетная) на и удовлетворяет условиям пункта 3), то , то есть она разлагается в ряд по косинусам (по синусам) на оси. При этом .
◄ 4) ,
. 5) Пусть, например, является нечетной. Тогда в силу свойств определенного интеграла от четной и нечетной функций. Пункты 1)-3) без доказательства. ►
ЗАМЕЧАНИЕ (электротехнический смысл) Для функции равенство Парсеваля принимает вид . Для периодического с периодом на аналогового сигнала (тока, напряжения) величина называется квадратическим (действующим) значением сигнала. Нетрудно убедиться, что для -ой гармоники такого сигнала квадрат действующего значения равен . В этих обозначениях равенство Парсеваля принимает вид . То есть квадрат действующего значения сигнала равен сумме квадратов действующих значений составляющих его гармоник.