Глава 7 обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производные этой функции.

Определение Дифференциальное уравнением, в котором независимых переменных более одной, называется дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП ).

Определение Дифференциальное уравнением, в котором независимая переменная одна, называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Определение Дифференциальным уравнением n-ого порядка

называется ОДУ, в котором самый высокий порядок производной неизвестной функции равен .

Определение ОДУ вида называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной . ОДУ вида называется уравнением общего вида. Здесь - известные функции.

В терминах дифференциальных уравнений формулируются законы, по которым развиваются или связываются между собой процессы.

Определение Решением ОДУ -ого порядка на интервале

называется раз дифференцируемая на функция, которая при

подстановке в уравнение обращает его в тождественное равенство на .

Определение График решения ОДУ называется интегральной кривой.

Определение Пусть дано ОДУ ого порядка и числа . Задача нахождения решения ОДУ в окрестности точки , которое удовлетворяет равенствам , называется задачей Коши. Сами равенства называются условиями Коши, а числа - данными Коши.

Определение Общим решением ОДУ n- ого порядка в

окрестности точки называется функция , зависящая

от параметров , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение Решение, получаемое из общего при конкретных значениях параметров, называется частным.

Определение Решение ОДУ , в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Определение Решение, заданное в виде неявной функции и зависящее от произвольных параметров, называется общим интегралом.

Определение Проинтегрировать ОДУ в явном виде – это значит найти

его общее решение в виде элементарной функции.

Определение Проинтегрировать ОДУ в квадратурах – это значит найти его общее решение в виде интегралов от элементарных функций. и второго порядков

_____

Определение ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделяющимися переменными.

Определение ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделенными переменными.

ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в

квадратурах: , .

_____

Определение Функция называется однородной функцией степени , если .

Определение ОДУ вида или вида называется однородным, если соответственно - однородная функция нулевой степени, - однородные

функции одинаковой степени.

ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с

разделяющимися переменными, если зависимую переменную

заменить на по формуле .

_____

Определение Дифференциальное уравнение вида называется ОДУ в полных дифференциалах, если функции имеют непрерывные частные производные и .

ЗАМЕЧАНИЕ ОДУ в полных дифференциалах решается в

квадратурах. Последнее условие равносильно существованию функции

с дифференциалом . Тогда общий интеграл имеет

вид .

_____

Определение ОДУ вида , где функции заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.

ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решается методом вариации

произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с

разделяющимися переменными .

.