Глава 9 уравнения в частных производных

Определение Дифференциальное уравнение вида

, (1)

где , - известная функция в области , - искомое решение области , называется линейным дифференциальным уравнением в частных производных (ЛДУЧП) второго порядка с постоянными коэффициентами .

Определение ЛДУЧП называется:

уравнением эллиптического типа, если ,

уравнением параболического типа, если ,

уравнением гиперболического типа, если .

ЗАМЕЧАНИЕ С помощью подходящей замены переменных

и зависимой переменной , ЛДУЧП можно привести к виду:

- канонический вид ЛДУЧП эллиптического типа,

- канонический вид ЛДУЧП гиперболического типа

- канонический вид ЛДУЧП параболического

типа.

ЗАМЕЧАНИЕ Уравнение эллиптического типа

описывает пространственные стационарные процессы: упругие

деформации, электростатические поля и другие.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 В случае уравнение

,

называют уравнение свободных колебаний струны.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Уравнение свободных колебаний мембраны

(свободно изгибающейся натянутой пленки в плоскости)

имеет вид

,

где - аппликата точки мембраны в момент времени t.

ЗАМЕЧАНИЕ Аналогично выводится уравнение теплопровод

ности однородного тела

.

_____

Определение Пусть на границе области (или на её части) заданы функции . Система уравнений вида

, (2)

называется граничными условиями. Задача нахождение решения ЛДУЧП (1) в области , предельные значения которого удовлетворяют граничным условиям, называется граничной задачей.

Определение Граничная задача с условием , называет ся задачей Дирихле.

Определение Граничная задача с условием

,

где - вектор внутренней нормали в точке , называется задачей Неймана.

Определение Если на разных участках границы искомое решение удовлетворяет разным по форме условиям, то, соответствующая граничная задача называется смешанной.

Определение Если одна из переменных является по смыслу временем и часть границы задается уравнением , то граничная задача называется задачей Коши с соответствующим начальным условием. Остальные условия при этом нередко называют краевыми.