Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донской Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Опорный конпект-ОДУ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2018

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

2) Пусть есть целая функция. Тогда ряд

сходится в пространстве .

Определение Для целой функции отображение определяемое по правилу , называется функцией от матрицы.

_____

Определение Аннулирующий многочлен матрицы, который имеет наименьшую степень и коэффициент при старшей степени,

называется минимальным.

ЗАМЕЧАНИЕ Если - показатель нильпотентности матрица

, то минимальный аннулирующий многочлен

равен . Его можно находить по формуле

, где есть наибольший общий делитель всех

алгебраических дополнений матрицы .

Определение Спектром матрицы называется последователь ность нулей ее минимального аннулирующего много

члена .

Определение Целые функции совпадают на спектре матрицы , если .

ТЕОРЕМА 7.6 1) (теорема Сильвестра) Если

то ,

где – интерполяционный многочлен Эрмита с узлами и

значениями .

2) Если - ЖНФ матрица и есть матрица перехода от к

, то .

3) Для ЖНФ имеет место формула

4) Для жордановой клетки имеет место формула

ЗАМЕЧАНИЕ Пункты 2)-4) дают алгоритм построения экспоненты от матрицы .

Понятие экспоненты от матрицы позволяет вывести формулу Коши для НСЛДУ с постоянными коэффициентами.

ТЕОРЕМА 7.7 (решение задачи Коши для НСЛДУ с постоян

ными коэффициентами) Пусть в НСЛДУ

квадратная числовая матрица имеет размер , а элементы

матрицы непрерывны на . Тогда:

1) матрица является переходной матрицей НСЛДУ, то

есть фундаментальной со свойством ;

2) общее решение однородной НСЛДУ ;

3) решение задачи Коши для однородной НСЛДУ имеет

вид ;

4) решение задачи Коши для неоднородной НСЛДУ имеет

вид

_____

Определение Сеткой с шагом и узлами называется раз

биение отрезка точками . Сеточной функцией называется функция, определенная в узлах .

Пусть правая часть ОДУ имеет непрерывные в точке

. Тогда по формуле Тейлора в окрестности точки для решения задача Коши: , имеем

Последнее равенство подводит к такому определению.

Определение Методом Эйлера приближенного решения задачи

Коши на сетке называется нахождение

сеточной функции по формулам

ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешность метода Эйлера – это погреш

ность на одном шаге, и она равна . Глобальная погрешность – это

величина . Для метода Эйлера она равна .

Определение Методом Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши , на сетке называется нахождение сеточной функции по формулам

, где ,

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на

одном шаге равна . Глобальная погрешность равна .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Метод Рунге-Кута содержится, например, в

пакете Matlab.

_____

Определение НСОДУ вида или в матричной

форме , где отображение определено на откры том множестве , называется динамической (автономной) системой (ДС).

ЗАМЕЧАНИЕ Предполагаем, что функции ,

удовлетворяют условию Липшица на любом замкнутом ограничен ном

множестве . Тогда по теореме 7.1 задача Коши с начальными

данными имеет единственное решение.

Определение Множества точек в называются траекториями, а пространство - фазовым пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы единственности траектории

между собой не пересекаются. Траектории, определяемые

решениями , совпадают.

Определение Постоянное решение динамической системы называется положением равновесия.

ЗАМЕЧАНИЕ Из определения следует, что точка

является положением равновесия динамической системы тогда и

только тогда, когда она является решением системы .

Определение Решение динамической системы называется

периодическим, а соответствующая траектория в - замкнутой

(циклом), если .

ЗАМЕЧАНИЕ Если траектория динамической системы сама

себя пересекает хотя бы в одной точке, то она необходимо

является либо положением равновесия, либо циклом (в силу

теоремы единственности).

Определение Множество траекторий динамической системы называется ее фазовым портретом.

Определение Цикл ДС называется предельным, если во множестве траекторий, проходящих через точки, достаточно близкие к этому циклу, нет замкнутых траекторий.

Определение Цикл называется устойчивым (притягивающим), если он является асимптотой для всех траекторий, проходящих через достаточно близкие к этому циклу точки, при . Цикл называется неустойчивым (отталкивающим), если он является асимптотой для всех близких траекторий при .

Существуют альбомы фазовых портретов динамических систем.

_____

Напомним, что .

Определение Пусть для НСОДУ выполнено условие теоремы единственности на множестве точек таких, что . Решение называется устойчивым по Ляпунову, если с условием решение задачи Коши с начальным условием удовлетворяет условию: . Если кроме того , то решение называется асимптотически устойчивым.

ЗАМЕЧАНИЕ Устойчивость решения для НСОДУ

равносильна устойчивости нулевого решения для

НСОДУ .

СЛЕДСТВИЕ Произвольное решение НСЛДУ

устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво нулевой

решение однородного уравнения .

Определение Однородное ЛДУ с постоянными коэффициентами называется устойчивым, если решение соответствующей задачи Коши ограничено на и

ТЕОРЕМА 7.8 (устойчивость ДУ)

1) Положение равновесия однородной НСЛДУ с постоянными

коэффициентами устойчиво тогда и только тогда,

когда собственные числа матрицы имеют неположительные

вещественные части, а для чисто мнимых собственных чисел

выполняется равенство .

2) В условиях предыдущего пункта положение равновесия

асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все

собственные числа матрицы имеют отрицательные

вещественные части.

3) (критерий Рауса-Гурвица) Однородное ЛДУ с постоянными

коэффициентами устойчиво тогда и

только тогда, когда все главные миноры матрицы

положительны: .

Определение Пусть - решение НСОДУ , которое назовем опорным (рабочим). Для "близкого" решения положим . Разложим функции в окрестности по формуле Тейлора