- •Опорный конспект, второй семестр (дополнение) обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Интегрируемые оду первого и второго порядков
- •Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Численное решение задачи Коши для оду
- •Функциональные преобразователи и схемы
- •Опр Логические формулы называются равносильными, если соответствующие им булевы функции совпадают.
- •Замечание (свойства унарных и бинарных операций):
- •Ортогональные системы функций и ряды Фурье
- •Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. Год, утс-11, уэл-11, уба-11,12
- •Вопросы ко второму блоку, 2011-2012 уч.Год
- •Типы задач для экзамена
Интегрируемые оду первого и второго порядков
Опр ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделяющимися переменными. ОДУ вида или вида называется ОДУ с разделенными переменными.
ЗАМЕЧАНИЕ Решения этих уравнений выписываются в квадратурах:
, .
_____
Опр Функция называется однородной функцией степени , если
.
Пример - однородная функция нулевой степени; - однородная
функция степени .
Опр ОДУ вида или вида называется однородным, если соответственно - однородная функция нулевой степени, - однородные функции одинаковой степени.
ЗАМЕЧАНИЕ Однородное ОДУ преобразуется в ОДУ с разделяющимися перемен ными, если зависимую переменную заменить на по формуле .
_____
Опр ОДУ вида , где функции заданы и непрерывны, называется уравнением Бернулли, если и линейным уравнением (ЛДУ) в противном случае.
ЗАМЕЧАНИЕ Эти ОДУ решаются методом вариации произвольной постоянной. 1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными .
.
2) Решение исходного уравнения ищем в виде , считая в предыдущем решении произвольную постоянную зависящей от (говорят: варьируя произвольную постоянную ). Для нахождения подставим это решение в
исходное уравнение: . После сокращения получаем уравнение с разделяющимися переменными для нахождения .
Пример Пусть в фильтре нижних частот входное напряжение изменяется по синусоидальному закону: . Тогда уравнение фильтра нижних частот имеет вид . Так как решение соответствующего однородного уравнения равно , то частное решение ищем в виде. находим из уравнения с разделяющимися переменными
где . Тогда падение напряжения на конденсаторе изменяется по закону .
С течением времени второе слагаемое стремится к нулю. Поэтому будет меняться периодически. Его амплитуда , очевидно, мала для больших (верхних) значений частот , что и объясняет название фильтра.
____
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида сводится к решению
ОДУ первого порядка с помощью замены на зависимую переменную .
Первое очевидное. Докажем второе. .
Пример (Уравнение колебаний математического маятника).
М атериальная точка массы подвешена на нерастяжимой нити длины . На неё действуют две силы: вертикальная сила тяжести и сила реакции нити. Запишем закон колебаний маятника в виде
,
где - угол его отклонения от положения равновесия в момент времени. Равнодействующая этих сил направлена по касательной к маятнику и потому второй закон Ньютона для него имеет вид
Продифференцируем первую систему два раза
.
И мы вывели уравнение колебаний математического маятника
Это ОДУ второго порядка. Понизим его порядок с помощью замены
.
В крайнем левом положении маятника по физическому смыслу имеем
.