2.2. Частные производные высших порядков
Определение 6. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначаются частные производные 2-го порядка так:
; 
;
; 
.
Частные
производные
и
называются смешанными производными.
Можно доказать, а на практике это легко
проверить, что
,
если они непрерывны.
Пример
4. Дана функция
.
Найти все ее частные производные 2-го
порядка и убедиться, что
.
Решение.
; 
;
;
;
;
.
Из
последних двух равенств видно, что
.
Пример
5. Показать,
что функция
удовлетворяет уравнению
.
Решение.
Находим
;
.
Подставим найденные значения в левую часть уравнения:
.
Получаем тождество, следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
3. Полный дифференциал функции двух переменных
Пусть
есть функция двух независимых переменных.
Зафиксируем
,
а затем
.
Тогда по аналогии с дифференциалом
первого порядка
и
называют частными дифференциалами, а
выражение
является полным дифференциалом функции
двух переменных. Положив
,
получим, что
,
а, положив
,
получим
.
Формула для
примет вид:
.
(2)
Пример 6. Найти полный дифференциал функции
.
Решение. Используем формулу (2). Найдем , .
; 
.
Тогда
.
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Определение
7. Касательной
плоскостью к поверхности в точке
называется плоскость, содержащая в себе
все касательные к кривым, проведенным
на поверхности через точку
.
Определение 8. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости.
Если
поверхность задана неявно, т. е. ее
уравнение
,
тогда уравнение касательной плоскости
в точке
к поверхности имеет вид:
(3)
где
,
,
– значения частных производных функций,
вычисленных в точке
,
а
,
,
– текущие координаты точки касательной
плоскости.
Уравнение нормали к поверхности в точке записывается в виде:
(4)
Если уравнение поверхности задано явно, т. е. , то формулы (3) и (4) примут вид:
(5)
.
(6)
Пример
7. Написать
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
Решение.
Определим третью координату точки
касания, подставив
,
в уравнение поверхности. Получим
,
откуда
.
Таким образом, точка касания имеет
координаты
.
Перепишем
уравнение в виде
и найдем частные производные:
; 
; 
.
Подсчитаем их значения в точке :
; 
; 
.
Применяя формулы (5) и (6), получим:
или
.
Итак,
– уравнение касательной плоскости,
– уравнение нормали.
Нуль
в знаменателе означает, что направляющий
вектор нормали, а значит и сама нормаль
перпендикулярны оси
.
5. Экстремум функции двух независимых переменных
Определение
9. Функция
имеет в точке максимум (или минимум),
равный
,
если в окрестности этой точки для всех
точек
,
отличных от
,
выполняется неравенство
или
.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.