Тема 5. Логика предикатов

5.1. Предикат как функция.

Рассмотренная в предыдущих темах теория высказывания обладает многими недостатками. Укажем некоторые из них. Разбиение высказывания ровно на две части не всегда удобно и полезно. Например, вследствие этого традиционная теория крайне неуклюже обрабатывает высказывания, выражающие отношения. Различение среди терминов высказывания разнокачественных субъекта и предиката, обусловленное особенностями метафизики Аристотеля, влечет то, что квантификация может осуществляться только для одного термина.

Принятая ныне теория высказывания восходит к работам немецкого логика Г.Фреге, и в основе её лежит функциональная трактовка предиката.

Функцию можно определить как правило, сопоставляющее каждому элементу из одного множества объектов некоторый другой (или отображающее одно множество в другое). Запись

f(x) = y

означает, что вместо х может быть подставлен любой элемент отображаемого множества (его называют область определения), и в соответствии с правилом, которое описывает f, такому элементу сопоставляется элемент из множества у. Последнее называется областью значений функции. Только в школьной математике обычно в область значения и область определения включаются однородные объекты. Но в этом нет никакой обязательности. Например, уже в случае деления область определения может включать целые числа, в то время как область значений - рациональные. Возведение в квадрат: область определения включает целые числа, а область значений - положительные целые числа. Можно пойти и ещё дальше и не ограничивать область применения функции математическими объектами. Допустим, область определения включает любые возможные объекты. Тогда и появляется возможность трактовать предикат (или, более общо - понятие) как особого рода функцию.

Прежде чем дать окончательные разъяснения, посмотрим на понятие функции с точки зрения языка.

2² представляет собой выражение из языка математики. Оно имеет значение 4. Соответственно, высказывание 2² = 4 имеет значение «Истина», а высказывание 2² = 5 имеет значение «Ложь». Но мы не можем сказать, каково значение выражения х². Оно зависит от того, что мы подставим на место х. Соответственно, мы не можем сказать, истинным или ложным будет высказывание х² = 4. Это говорит о том, что выражение, подобное х² = 4, является, как говорил Г. Фреге, неполным или ненасыщенным – оно содержит пустые места, которые помечаются переменными. Именно в этом и состоит специфика функциональных выражений. Это неполные выражения, которые получают определенные значения после того, как пустые места будут заполнены именами определенных объектов или собственными именами. Подставив на место х цифру «2», обозначающую определенное число, мы получим выражение, имеющее значение 4. Подставив на это же место цифру «3», мы получим выражение, имеющее значение 9.

Попытаемся обобщить наши соображения на случай высказываний. Высказывания, как мы уже знаем, тоже имеют особого рода значения – истинностные значения «Истина» и «Ложь». А что мы скажем про следующее выражение:

“х – человек” ?

Очевидно, что это весьма похоже на высказывание, однако мы не можем оценить его как истинное или ложное, пока не подставим какое-либо конкретное имя на место х. Очевидно, что высказывания «Сократ – человек», «А.С.Пушкин – человек» имеют значения «Истина», в то время как высказывание «Буцефал – человек» имеет значение «Ложь». Используя вышесказанное, это можно объяснить таким образом, что «человек» представляет собой функцию, которая на одних аргументах (Сократ, А.С.Пушкин и т.п.) имеет значение «Истина», а на других (Буцефал и т.п.) – значение «Ложь»:

Человек (Сократ) = истина

Человек (Пушкин) = истина

но

Человек (Буцефал) = ложь

Итак, предикат можно понимать как особого рода функцию, область определения которой может включать объекты любого рода, а область значений только два объекта – «Истину» и «Ложь». Иначе говоря, предикат – это функция, которая сопоставляет всякому объекту истину или ложь: истину - в том случае, если объект, подставленный на место х, подпадает под это понятие, ложь - если не подпадает.

Символически предикатные выражения принято записывать следующим образом: Р(а), где Р – имя предиката, а – собственное имя, или имя определенного объекта.

В начале параграфа было сказано, что традиционная теория высказывания неудобна при анализе высказываний, выражающих отношения. При функциональной трактовке такие суждения становятся функциями от двух аргументов. Например, высказывание «Петербург севернее Москвы» будет представлено как «Севернее (Петербург, Москва)». Очевидно, что это высказывание имеет значение «Истина», в то время как «Севернее (Москва, Петербург)» будет иметь значение «Ложь». Такие отношения называют также двухместными предикатами. Существуют и трехместные, и четырехместные и т.д. предикаты. Примером трехместного предиката служит отношение «между»: «Бологое находится между Петербургом и Москвой» будет представлено как «Между (Бологое, Петербург, Москва)».

Двухместные предикаты записываются как Р(а,b), трехместные – как Р(а,b,c) и т.д.

5.2. Кванторные выражения.

До сих пор мы рассматривали только примеры единичных высказываний, т.е. таких, которые могут быть оценены как истинные либо ложные при условии, что аргументные места функций заполнены собственными именами объектов. Однако мы пока не можем формализовать общих высказываний. Для этой цели в логике предикатов используются ещё два знака, именуемые кванторами. Это квантор общности  и квантор существования . Выражение хА(х) означает, что для всякого х выполняется условие А. хА(х) означает, что по крайней мере для одного объекта выполняется условие А.

Поскольку выражения вида Р(х) имеют значения «и» и «л», их можно связывать с помощью известных нам логических союзов. Тогда базисные высказывания традиционной логики можно записать так:

А: х (S(х)  P(х)).

Читается: для всякого х верно, что если он имеет свойство S, то он имеет свойство Р; или всякий объект, имеющий свойство S, имеет свойство Р и т.п.

Е: х (S(х)  P(х)).

Читается: всякий объект, имеющий свойство S, не имеет свойства Р; или всякий, кто является S, тот не является Р и т.п.

I: х (S(х) & P(х)).

Читается: существует по крайней мере один объект, имеющий одновременно свойства S и Р. Очевидно, что здесь уже несущественно традиционное разделение на субъект и предикат.

O: х (S(х) & P(х))

Очевидно также, что в логике предикатов нет никаких оснований выделять именно эти высказывания в качестве базисных. Впрочем, как и любые другие высказывания.

Рассмотрим ещё несколько примеров, поясняющих, как работает язык логики предикатов.

Высказывание «Саша любит Машу» будет записано как R(a,b), где R обозначает отношение (или двухместный предикат) «любит», а – Саша, b – Маша. Это высказывание содержит только собственные имена, поэтому его можно записать без помощи кванторов.

«Саша в кого-то влюблен»: х R(a,x), т.е. существует х такой, что Саша его любит.

«Все любят В.В.Путина»: обозначив В.В.Путина константой с, можем записать х R(х,с), то есть всякий х находится в отношении R к c.

«Каждый кого-нибудь любит»: ху R(x,y), то есть для всякого х найдётся такой у, что х находится к нему в отношении R.

Несколько сложнее будут обстоять дела с высказыванием «каждый мальчик влюблен в какую-нибудь девочку». Здесь, помимо двухместного предиката «любит», есть ещё два одноместных предиката: «мальчик» и «девочка», и они должны быть формализованы в окончательной записи именно как предикаты. Обозначив «мальчик» через Р, а «девочка» через Q, получим:

х [(P(x)  (у Q(y) & R(x,y))].

Читается: для любого х, если он является мальчиком, то найдется такое у, что оно является девочкой, и при этом х любит у.

5.3. Равносильности логики предикатов.

Здесь отметим лишь некоторые, наиболее полезные равносильности, которые наблюдаются у кванторных выражений.

Равносильности, позволяющие выражать кванторы друг через друга.

1.1. хА(х)  х А(х).

1.2. хА(х)  хА(х).

Из этих двух равносильностей непосредственно следуют две следующих:

хА(х)  х А(х).

хА(х)  хА(х).

Запишем для примера утверждение о несуществовании Адама, понимая под Адамом человека, не имевшего отца. Пусть R(x,y) обозначает отношение «х – отец у». Тогда требуемое утверждение можно записать так:

хyR(y,x)

или, используя одну из указанных равносильностей, так:

ху R(y,x),

или так:

ху R(y,x).

Равносильности, выражающие взаимодействие разных кванторов

2.1. ху А(х, у)  ух А(х, у).

2.2. ху А(х, у)  ух А(х, у).

Это значит, что одноименные кванторы всегда можно безболезненно менять местами. Что касается разноименных кванторов, то это может иметь пагубные последствия. Так, допустим, что R(x,y) обозначает «прямая х перпендикулярна прямой у». Тогда хуR(x,у) выражает истинное высказывание «для всякой прямой х существует такая прямая у, что х ей перпендикулярна». Поменяв же кванторы местами, получим ухR(x,у), что означает «существует прямая, которая перпендикулярна всем прямым». Очевидно, что это ложно. Поэтому между этими двумя высказываниями имеется только отношение следования:

2.3. ухА(x,у) = хуВ(x,у).

Равносильности, описывающие взаимодействие кванторов и логических связок.

3.1. х(А(х) & B(x))  хА(х) & хB(х).

Взаимодействие квантора общности и дизъюнкции требует внимательности. Допустим, что Р обозначает предикат «четное число», а Q предикат «нечетное число». Тогда х(P(х)  Q(x)) выражает истинное высказывание «всякое целое число является четным или нечетным», в то время как хP(х)  хQ(x) выражает «все целые числа являются четными или все целые числа являются нечетными», что ложно. Поэтому здесь можно констатировать только отношение следования:

3.2. хА(х)  хВ(x) = х(А(х)  В(x)).

4.1. х(А(х)  В(x))  хА(х)  хВ(х).

Соединение квантора существования с конъюнкцией также таит в себе опасность. Пусть Р обозначает предикат «круглый», а Q предикат «квадратный». Тогда хР(х) & хQ(х) выражает истинное высказывание «существуют круглые предметы и существуют квадратные предметы», в то время как х(P(х) & Q(x)) выражает «существуют круглые квадраты». Поэтому между такими высказываниями имеется только отношения следования:

4.2. х(P(х) & Q(x)) = хР(х) & хQ(х).