1) Евклидово т- мерное пространство. Вектора.

n-мерным вектором наз. упорядоченный набор из n-действительных чисел, n=1,2,3… .

x=(х₁,х₂,…,х_n) строчная

х₁

x= х₂ столбцовая

:

х_n

одновременно вектор х – действительное число.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число  наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) >0, то АВ, <0, то АВ. в)>1, то А<В, )<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

Суммой n-мерных векторов наз.n-мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компонентов.

(x₁,x₂,…,x_n)+(y₁,y₂,…,y_n) = (x₁+y₁,x₂+y₂,…,x_n+y_n)

n=5

(1,-2,0,-1,1)+(1,2,-1,0,3) = (1+1, -2+2, 0-1, -1+0, 1+3) =

= (2,0,-1,-1,4)

2) Произведение и длина вектора

а=х₁i+y₁j+z₁k; b=х₂i+y₂j+z₂k

*a=(х₁i+y₁j+z₁k)= (х₁)i+ (y₁)j+(z1)k

ab=(x₁x₂)i+(y₁y₂)j+(z₁z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+ z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cos

а)ав=0,<=>ав, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в - коллинеарны, если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

3) Матрица

Матрица размера m на n

(m x n), с элементами из некоторого множества называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, на пересечении которых находятся элементы множеств.

Если элементы матрицы числа, то матрица называется числовой.

Внутренняя структура числовой матрицы:

1) A_i = (a_i1, a_i2,…_, a_in) – строки матрицы можно рассматривать как n-мерные векторы, а матрицу рассматривают, как систему ее строк

A₁

A = A₂

::

A_m

2) столбцы матрицы

a_1j

a_2j

A^j = :::  R^m – столбцы

a_mj матрицы можно

рассматривать как m-мерные векторы, а саму матрицу как систему её столбцов.

Примеры матриц:

1) Нулевая матрица размером m на n

000…0

O_{m x n} = 000…0

000…0

2) Единичная матрица размерjм m на n

1 0 0…0 0

E_{m x n} = 0 1 0…0 0

0 0 0…0 1

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов. Называется квадратной, элементы квадратной матрицы совпадающими номерами образуют ее главную диагональ. Единичная матрица – это квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы - нули.

3) Диагональные матрицы

1 0 0

0 2 0

0 0 -1

Матрица – таблица из m´n чисел расположенных в виде m строк и n столбцов.

Числа из которых состоит матрица – её элементы.

a_ik i – номер стоки k – номер столбца

если число строк = числу столбцов (m=n) матрица назыв квадратной порядка n

Матрица сост из 1-го столбца – Матрица – стоцбец

Матрица сост из 1-ой строки – Матрица – строка

Матрицы назыв равными если они одинакового размера и если на одинаковых местах у них стоят равные числа

Сложение и умножение на число – лин операции над матр.

1. Матрицы одинакового размера складыв поэлементно

2. Умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый её элемент

По аналогии с обычным вектором кот можно задать упоряд сист чисел, упоряд сист сост из n эл-ов, назыв n – мерным арифмет вектором а эл-ты назыв компонентами.

У матрицы размера m´n столбцы явл-ся

m – мерными вект а стоки n – мерными векторами

Сумму попарных произвед одноимённых компонентов векторов назовём свёрткой этих векторов или их скаляр произвед

(a₁b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

Пусть имеются 2 матр A_m´n и B_n´p так что строки 1-ой и столбцы второй имеют один и тот же размер n

Строки 1-ой и столбцы 2-ой назыв n – мерными векторами

Транспонированием матрицы назыв операция при котор строки и столбцы меняются местами.

A= 1 2 3 A^t= 1 4 (A^t)^t=A

4 5 6 2 5

3 6