4) Перемножение матриц. Различные виды.

Произвед A_m´n на B_n´p назыв матрица

C_m´p элемент C_ik который равен свёртке

i – строки матрицы А и k – столбца матр В

C_ik=a_i1·b_1k+a_i2·b_2k+…+a_in·b_nk

Пусть

Оказывается перемножение матриц не перестановочно AB¹BA (не обязат равно)

Если для каких-либо матриц АВ=ВА – такие матрицы наз перестановочными

Свойства перемножения матриц

1. (A_m´n·B_n´p)C_p´k=A_m´n(B_n´p·C_p´k)

2. (lA)B=A(lB)=l(AB) l - число

3. A(B+C)=AB+AC

В квадратной матрице мн-во эл-ов у которой i=k – назыв. Главной диагон

Квадр матр у котор за пределами главн диаг все элем равны 0 назыв диагональной.

При умножении матр. EA=A E играет роль единицы

E3= 0 1 0

0 1 0 | a b | * |1 0 | = a | b

0 1 0 | c d | |0 1 | c | d

треугольная матрица

1 2 3 4

0 1 3 1

0 0 2 1

0 0 0 3

6) Определитель n-го порядка

Каждой квадратной матрице отвечает находимое по некотор правилу число,называется её определителем .

Определитель 4-го порядка равен сумме попарных произведений элем. 1-ой строки на их алгебраическ. дополнение .

DiT A=| a11 a12 a13 a14 | = a11*A11+a12*A12+a13*A13+a14*A14

| a21 a22 a23 a24 |

| a31 a32 a33 a34 |

| a41 a42 a43 a44 |

Опред. №1 Минором Мik элемента aik в опред . |A| назыв. Определитель , получаемый вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится данный элемент

Опред№2 Алгебраич дополнением Аik элемента aik называется минор этого элемента взяфтый с со своим знаком , если (i+k)-четная и противопол. если

(i+k)-нечетная Aik=Mik*(-1)^(i+k)

Cвойства определителей

1. величина определ Д не меняется при транспонировании

Благодаря этому все остальн св-ва мы сформируем для строк, но они справедливы и для столбцов

2. | a1c1|=|a1 b1 c1 |

| a2 b2 c2 | |a2 b2 c2 |

|a3 b3 c3 | |a3 b3 c3|

3. Если в определител есть строка , сост из одних нулей то опред =0

|a1 b1 c1 |=0

|a2 b2 c2 |

|a3 b3 c3 |

4. Если переставить 2 строки то определ меняет знак.

|a2 b2 c2 |= -|a1 b1 c1 |

| a1 b1 c1| |a2 b2 c2 |

|a3 B3 C3 | |A3 B3 C3 |

5. Если в определ имеется 2 одиннаковые строки то он =0

| A B|= -|A B |

| A B| |A B |

6. Если имеются пропорциональные строки то определитель =0

|A B C |= |A B C |

|a b c | b c |

| a3b3c3|

b1+c1 b2+c2 b3+c3 |=| b1 b2 b3 |+| c1 c2 c3 |

| a21 a22 a23 | | a21 a22 a23| | a21 a22 a23|

|a31 a32 33aa31 a32 a33| | a31 a32 a32|

8)Если к какой –либо строке определит прибавть др. строку умножить на любое число значение определ не изменится

| a1+a1 b1+b2 c1+c2 | =|a1 b1 c1 |+| a2 b2 c2 |

| a2 b2 c2 | | a2 b2 c2| |a2 b2 c2 |

| a3 b3 c3 | | a3 b3 c3| | a3 b3 c3 |

9) если какая-либо строка определит явл линейной комбинацией др то значен определ =0

| a1 b1 c1 | (-k)(-m) = |a1 b1 c1 |

| a2 b2 c2 | | a2 b2 c2 |

| a3 b3 c3 | | 0 0 0 |

10) Если Д=0 то одна из его строк является линейн комбинац.

Остальных ( это будет вытекать из теор. о базисном миноре)

11) Определитель = свертке эл-тов любой с их алгебр. допол.

12)Если в какой-либо строке или столбце определителя только один эл-т отличен от нуля, т о Д= произвед. Этого единственн. Ненулевого эл-так на его алгебр. дополнение

13) Определитель произвед двух матриц = произвед определителей этих матриц d(AB)=d(A)*d(B)