7) Свойства определителя

1. detA=detA^T - св-во равноправ. стр. и столб.

| a₁ b₁ c₁ | | a₁ a₂ a₃ |

| a₂ b₂ c₂ | = | b₁ b₂ b₃|

| a₃ b₃ c₃ | | c₁ c₂ c₃ |

2. | a₁ b₁ c₁ | | b₁ a₁ c₁ |

| a₂ b₂ c₂ | = - | b₂ a₂ c₂ |

| a₃ b₃ c₃ | | b₃ a₃ c₃ |

3. | a₁ a₁ c₁ |

| a₂ a₂ c₂ | = 0

| a₃ a₃ c₃|

4. | ka₁ b₁ c₁ | | a₁ b₁ c₁ |

| ka₂ b₂ c₂ | = k | a₂ b₂ c₂ |

| ka₃ b₃ c₃ | | a₃ b₃ c₃ |

5. k=0 | 0 b₁ c₁ |

| 0 b₂ c₂ | = 0

| 0 b₃ c₃ |

6. | a₁ ka₁ c₁ |

| a₂ ka₂ c₂ | = 0

| a₃ ka₃ c₃ |

7. | a₁’ b₁ c₁ | | a₁” b₁ c₁ | | a₁’+ a₁” b₁ c₁ |

| a₂’ b₂ c₂ | + | a₂” b₂ c₂ | = | a₂’+ a₂” b₂ c₂ |

| a₃’ b₃ c₃ | | a₃” b₃ c₃ | | a₃’+ a₃” b₃ c₃ |

8. | a₁+kb₁ b₁ c₁ | | a₁ b₁ c₁ |

| a₂+kb₂ b₂ c₂ | = | a₂ b₂ c₂ |

| a₃+kb₃ b₃ c₃ | | a₃ b₃ c₃ |

9. Δ=Σ_ia_ijA_ij= Σ_ja_ijA_ij A_ij=(-1)^i+j·M_ij

| a₁ b₁ c₁ |

| a₂ b₂ c₂ | = a₁(-1) | b₂ c₂| + a₂(-1)²⁺¹| b₁ c₁| + a₃(-1)³⁺¹| b₁ c₁|

| a₃ b₃ c₃ | | b₃ c₃| | b₃ c₃| | b₂ c₂|

9) Основные определения системы уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: {(a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1) (a21x1+a22x2+…+a1nxn=b2)….. (am1x1+am2x2+…+amnxn=bm), где числа aij, i=1..m, j=1..n называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме AX=B. А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей. X – вектор столбец из неизвестных xj. В – вектор-столбец из свободных членов bi.

Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов.

Решением системы называется n значений неизвестных x1=c, x2=x2 ,…,xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Системы уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.

Две системы н называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

11) Обратная матрица

Будем рассматриват квалратные матрицы n-ого порядка

ОПР.

Матрица В назыв оьратной матрице А если АВ=ВА=Е

Обозначается А^(-1)

Можно доказать что чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно чтобы d(A) не =0 (определитель)

Правило:

Чтобы вычислить обратную матрицу нужно: заменить в матрице А все элементы их алгбраического дополнения

Протранспонир полученную матрицу

Поделить на определитель исходной матрицы.

ПРИМЕР А =(37) A^(v)= (4 -2) А^(-1)=-1/2*(4 -7)=1/2*(-4 7)

(2 4 ) (-7 3)

(-2 3) (2 -3 )

A^(vt) =(4 -7) d(A) = 3*4 –7*2=-2

(-2 3)