Нестационарные динамические системы

Момент времени № реализации			…
1			… …
2			… …
…	… …	… …	… …	… …
			… …

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

В ходе тренировочных вылетов истребителя осуществляется процесс наведения системы оружия на цель, маневрирующую случайным образом. Процесс прицеливания характеризуется т.н. мгновенным промахом – смещением цели относительно центра прицела вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Т.о. в результате завершения всех тренировочных вылетов мы располагаем таблицей реализаций мгновенного промаха в каждый из синхронизированных моментов времени² в каждой из реализаций.

Результат применения приведенных выше соотношений к данной задаче выглядит следующим образом. Вектор состояния реализации состоит из двух компонент: и , занумерованных двумя индексами. Верхний индекс обозначает номер реализации, нижний – номер момента времени.

Т.о. с учетом всех введенных обозначений оценки математического ожидания и корреляционной функции примут вид:

,

.

В результате применения приведенных соотношений к таблице реализаций случайного промаха для всех допустимых значений индекса и сочетаний индексов и мы получим набор векторов математического ожидания и матриц, определяющих корреляционную зависимость фазовых векторов, отнесенных к моментам времени с индексами и .

Стационарные динамические системы

Для анализа методом статистических испытаний, помимо рассмотренного выше, может быть использован подход, основывающийся на эргодическом свойстве стационарных случайных процессов. Это свойство позволяет заменить оценки, построенные по выборке реализаций, оценками, построенными по одной достаточно длинной реализации.

Рассмотрим процесс построения математического ожидания и корреляционной функции в следующем примере стационарной динамической системы.

Летательный аппарат совершает установившееся движение в горизонтальной плоскости. Некоторый -й фазовый вектор динамической системы, подлежащий анализу, состоит из углов атаки и скольжения , изменение которых определяется лишь воздействием случайных порывов ветра.

Для построения оценок статистических характеристик фазового вектора системы мы располагаем одной (при этом достаточно длинной) реализацией, состоящей из значений .

В силу свойств стационарных случайных процессов математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция зависит только от величины интервала между аргументами (а не от того в каком месте траектории этот интервал отложен). Т.о.:

,

,

где – интервал между любыми соседними моментами времени¹, – индекс момента времени, принимающий значения от до .

Для того чтобы оценка корреляционной функции (являясь случайной величиной) обладала приемлемой точностью, желательно обеспечить объем выборки (количество компонент в сумме) свыше . Т.о. диапазон изменения значений индекса – от до (при ).