- •Оглавление
- •Введение
- •Априорный анализ динамических систем Прохождение случайного сигнала через линейную систему
- •Эволюция фазового вектора системы
- •Эволюция ковариационной матрицы фазового вектора системы
- •Статистическая линеаризация
- •Первый способ
- •Второй способ
- •Вычисление коэффициентов линеаризации
- •Неоднозначность в нелинейных звеньях
- •Нелинейное звено, охваченное обратной связью
- •Моделирование случайных процессов
- •Формирующий фильтр
- •Моделирование белого шума
- •Оценивание статистических характеристик динамических систем методом Монте-Карло
- •Точность оценок
- •Нестационарные динамические системы
- •Стационарные динамические системы
- •Апостериорный анализ динамических систем
- •Фильтр Калмана Модель движения
- •Использование калмановской фильтрации в нелинейных задачах
- •Метод наименьших квадратов
- •Построение оценок
- •Прогноз
- •Использование метода наименьших квадратов в нелинейных задачах
- •Построение матрицы Коши
- •Моделирование измерений
- •Гауссовские случайные величины
- •Случайные векторы
- •Интеграл вероятностей
- •Полиномы Чебышева
- •Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Методы Рунге-Кутты
- •Точность результатов численного интегрирования
- •Вложенный метод Дормана-Принса 5(4) порядка
- •Управление длиной шага интегрирования
- •Плотная выдача
- •Московский авиационный институт (Государственный технический университет) Кафедра «Информационно - управляющие комплексы»
- •Пояснительная записка к Курсовому проекту «Релейный самонастраивающийся контур» по курсу «Основы статистической динамики комплексных информационных систем»
- •Москва 2003
- •Титульный лист
- •Раздел «Оглавление»
- •Раздел «Введение»
- •Раздел «Теория»1
- •Раздел «Алгоритм»2
- •Раздел «Программа»3
- •Раздел «Результаты»4
- •Раздел «Выводы»
- •Раздел «Список использованных источников»
- •Приложения
- •Литература
Оценивание статистических характеристик динамических систем методом Монте-Карло
Сущность метода статистических испытаний состоит в построении оценок статистических характеристик случайных процессов, которые допускают построение своих реализаций. Совокупность реализаций случайного процесса служит основой для построения оценки математического ожидания в момент времени :
,
где – -я реализация реализации случайного процесса в момент времени , – количество реализаций, по которым строится оценка,
и оценки корреляционной матричной функции между моментами времени и :
,
где справедливы все ранее введенные соотношения.
Отметим, что в этом соотношении на месте оценки предпочтительно использовать само математическое ожидание (в случае, если сведения о нем доступны).
Оценка ковариационной матрицы может быть определена, как частный случай при .
Точность оценок
Оценки математического ожидания
и дисперсии
случайной величины , построенные на основе обработки ограниченной выборки ее реализаций , , сами являются случайными величинами.
Очевидно, что чем больше размер выборки реализаций, тем точнее несмещенная оценка, тем ближе она к истинному значению оцениваемого параметра. Ниже приведены приближенные формулы, основывающиеся на предположении об их нормальном распределении1. Симметричный относительно доверительный интервал для оценки , соответствующий доверительной вероятности , определяется величиной , для которой справедливо соотношение:
,
где – истинное значение математического ожидания случайной величины , – среднеквадратическое отклонение случайной величины , – интеграл вероятностей.
На основе приведенного выше соотношения величина может быть определена следующим образом:
,
где – функция, обратная по отношению к интегралу вероятностей .
Поскольку характеристика рассеивания оценки нам в точности не известна, воспользуемся ее ориентировочным значением, вычисленным с использованием оценки :
.
Т.о. окончательное соотношение, связывающие точность оценки математического ожидания и размера выборки, по которой производится оценивание, выглядит следующим образом:
.
Это означает, что величина доверительного интервала (при неизменном значении доверительной вероятности ), расположенного симметрично относительно , выраженная в долях оценки среднеквадратического отклонения , обратно пропорциональна квадратному корню из размера выборки .
Доверительный интервал для оценки дисперсии определяется аналогичным образом:
с точностью до величины , которая за неимением более точной информации может быть приблизительно определена из соотношения:
.
Т.о. величина доверительного интервала (при неизменном значении доверительной вероятности ), расположенного симметрично относительно , выраженная в ее долях, обратно пропорциональна квадратному корню из величины , где – размер выборки.
Более точные формулы для построения доверительных интервалов1 оценок могут быть получены с использованием точных сведений о законе распределения случайной величины .
Например, для гауссовского закона распределения случайная величина
подчиняется закону распределения Стъюдента с степенью свободы, а случайная величина
распределена по закону также с степенью свободы.