Тема 3. Двойственность в линейном программировании.

Понятие двойственной задачи и ее экономическая интерпретация, примеры двойственных задач. Общий вид пары взаимно двойственных симметричных задач. Правила построения двойственной симметричной задачи. Общий вид пары взаимно двойственных задач со смешанными ограничениями. Правила построения двойственной задачи со смешанными ограничениями.

Основные теоремы теории двойственности. Соответствие между переменными и симплексными таблицами пары двойственных задач. Метод последовательного уточнения оценок. Экономическая интерпретация данных итоговой симплексной таблицы. Экономический смысл двойственных оценок. Послеоптимизационный анализ решения задачи линейного программирования.

Тема 4. Нелинейное программирование.

Общий вид задач нелинейного программирования. Примеры экономических задач нелинейного программирования.

Классические методы определения экстремумов. Необходимое и достаточное условие экстремума. Условный и безусловный экстремум функции. Метод множителей Лагранжа.

Модели выпуклого программирования. Производная по направлению и градиент. Анализ функций на выпуклость и вогнутость. Задача выпуклого программирования. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Градиентный метод.

Тема5. Динамическое программирование.

Общая постановка задачи линейного программирования. Примеры экономических задач линейного программирования.

Принцип оптимальности и управление Беллмана.

Задача о распределении средств между предприятиями. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями. Задача о замене оборудования.

Тема 6. Элементы теории игр.

Понятие игры и игровой модели. Основы классификации игр.

Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Чистые и смешанные стратегии игроков. Решение игр в чистых и смешанных стратегиях.

Геометрическая интерпретация игры с двумя участниками.

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Статистические игры. Критерии выбора оптимальной стратегии в статистической игре.

Тема 7. Элементы теории массового обслуживания.

Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний.

Системы массового обслуживания с отказами. Системы массового обслуживания с ожиданием (очередью).

Понятие о статистическом моделировании систем массового обслуживания (метод Монте-Карло).

Тема 8. Модели управления запасами.

Основные понятия управления запасами. Статическая детерминированная модель без дефицита. Статическая детерминированная модель с дефицитом.

Стохастические модели управления запасами. Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок.

Примерная тематика практических занятий

Практическое занятие по теме 1. Линейное программирование.

Графический метод решения задач линейного программирования: геометрическая интерпретация ограничений и целевой функции; понятие градиента целевой функции; решение задач с двумя переменными и с количеством переменных более 2 –х.

Составление математических моделей задач линейного программирования:

А) разработка оптимального плана выпуска продукции;

Б) составление смесей или диет;

В) оптимальная загрузка производственных мощностей;

Г) транспортная задача.

Практическое занятие по теме 2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Элементарное применение симплекс-метода (на примере).

Составление симплексных таблиц и их преобразование.

Решение М-задачи симплекс-методом. Решение транспортной задачи с использованием искусственных переменных.

Практическое занятие по теме 3. Двойственность в линейном программировании.

Составление моделей двойственных задач. Решение симплекс-методов двойственной задачи.

Послеоптимизационный анализ: оценка дефицитности ресурсов; оценка рентабельности дополнительного вида продукции.

Практическое занятие по теме 4. Нелинейное программирование.

Составление математических моделей задач нелинейного программирования.

Анализ целевых функций и функций ограничений на выпуклость.

Графоаналитический метод решения задач нелинейного программирования.

Градиентный метод решения задач нелинейного программирования.

Практическое занятие потеме 5. Динамическое программирование.

Задача о распределении ресурсов между предприятиями (отделениями).

Задача о замене оборудования.

Задача о транспортировке груза по сети дорог.

Задача о загрузке транспорта.

Практическое занятие по теме 6. Теория игр.

Составление платежных матриц, определение верхней чистой и нижней чистой цены игры.

Приведение игры к задаче линейного программирования. Нахождение цены игры и оптимальных смешанных стратегий игроков.

Составление платежной матрицы стратегической игры. Поиск оптимального решения с применением критериев Байеса, Вальда, Лапласа, Гурвица, Сэвиджа.

Практическое занятие по теме 7. Система массового обслуживания.

Определение вероятностей состояний и характеристик пункта обслуживания клиентов при наличии определенного числа каналов и известном времени обслуживания одного клиента.

Определение показателей эффективности работы системы массового обслуживания.

Практическое занятие по теме 8. Управление запасами.

Решение задач на определение наиболее экономического объема партий товара и оптимального интервала между поставками.

Определение оптимального объема выпуска товара при известном распределении спроса на него.