1) Функція є неперервною;
2) Ряд можна інтегрувати: ;
3) Ряд можна диференціювати: .
Інтервал збіжності ряду, утвореного інтегруванням чи диференціюванням, ідентичний до інтервалу збіжності основного ряду.
Суму n елементів ряду Тейлора
називають многочленом Тейлора.
Якщо у визначеному околі деякої точки а(0) всі похідні функції обмежені одним і тим самим числом, то в цьому околі функція та ряд Тейлора збігаються.
Основна: . Додаткова: .
Поясніть термін «числовий ряд».
Чи збігатиметься ряд, утворений множенням членів даного збіжного ряду на деяке число?
Що таке «гармонічний ряд»?
Сформулюйте теорему про порівняння рядів.
Коли використовують ознаку Д’Аламбера?
Який ряд називають знакопереміжним? Знакозмінним?
В чому різниця між абсолютно збіжним та умовно збіжним рядами?
Коли ряд називають функціональним?
Сформулюйте теорему Абеля про збіжність степеневого ряду.
Чим відрізняється ряд Тейлора від ряду Маклорена?
Абель, Нільс Хенрік (1802–1829) – норвезький математик. Народився у Фінгьо, в сім’ї пастора. Навчався у кафедральній школі, де й захопився математикою, а потім в університеті Христианії (нинішній Осло), викладачі якого вирішили встановити Абелю стипендію з особистих засобів, «аби зберегти для науки це рідкісне обдарування». У 1822 році Абель отримує ступінь кандидата філософії, у 1824 – опублікував доведення нерозв’язува-ності в радикалах загального алгебраїчного рівняння 5-го степеня. З 1825 по 1827 роки перебував за кордоном, зокрема, в Берліні, Парижі. Повернувшись на батьківщину, давав приватні уроки, перебуваючи у великих злиднях. У 1828 році отримав посаду доцента в університеті та інженерній школі Осло і чекав запрошення на роботу в Берлін. Однак, у 1829 році він раптово помирає від туберкульозу. Абель є засновником загальної теорії інтегралів алгебраїчних функцій. Лежандр назвав відкриття в галузі цієї теорії «нерукотворним пам’ятником» Абелю. Деякі з робіт належать до теорії рядів. На його честь названо кратер на Місяці.
Бернуллі, Йоганн І (1667–1748) – молодший брат Якоба І Бернуллі, один з найвизначніших математиків свого часу. Став магістром (мистецтв) у 18 років і перейшов на вивчення медицини, однак, одночасно захопився вивченням математики. Вивчаючи разом з Якобом перші статті Лейбніца про методи диференціального та інтегрального числення, починає власні глибокі дослідження. У 1648 відкрив експоненціальне числення і ознайомив з ним учений світ в 1697 ще до Лейбніца. Разом із братом Якобом розробляв аналіз нескінченно малих. Й.Бернуллі належить перший друкований систематичний виклад інтегрального числення. Вивів правило розкриття невизначеності типу 0/0 (відоме під назвою правила Лопіталя), розробив методи інтегрування раціональних дробів, обчислення площ плоских фігур, випрямлення різних кривих, відкрив ряд, називаний його іменем і споріднений із рядом Тейлора, дав визначення поняття функції як аналітичного виразу, складеного зі змінних і постійних величин. Поставив класичне завдання про геодезичні лінії й знайшов характерну геометричну властивість цих ліній, а пізніше вивів диференціальне рівняння, що описує їх. Повне зібрання його вчених праць з’явилося в Женеві (1742. Професор Гронінгенського (з 1695) і Базельського (з 1705) університетів, почесний член Петербурзької АН. Після смерті брата Якоба перейшов на його кафедру в Базелі й займав її до самої смерті. Виховав багато учнів, серед яких – Леонард Ейлер та Даніїл Бернуллі. До його портрета Вольтер написав вірша:
Його розум бачив істину,
Його серце пізнало справедливість.
Він – гордість Швейцарії
І всього людства.
Бернуллі, Якоб І (1654–1705) – швейцарський математик. Народився у Базелі (Швейцарія). Вивчав теологію і математику. З 1687 року – професор математики в Базельському університеті. Найважливішими є заслуги Я.Бернуллі в розвитку аналізу нескінченно малих, теорії рядів, варіаційного числення і теорії ймовірностей. Його книга «Арифметичні додатки про нескінчені ряди та їх скінчені суми» (1689–1704) стала першим підручником з теорії рядів. У праці «Мистецтво пропозицій», виданій Миколою І Бернуллі у 1713р., Я.Бернуллі розв’язав деякі задачі комбінаторики; відкрив числа, пізніше названі числами Бернуллі; довів так звану теорему Бернуллі – частковий випадок закону великих чисел, побудував математичну модель для опису серії незалежних експериментів (схема Бернуллі). Йому належать також роботи з фізики, арифметики, алгебри і геометрії. Серед його учнів, крім брата Йоганна І Бернуллі, необхідно назвати також племінника Миколу І Бернуллі і П.Ейлера – батька видатного математика Леонарда Ейлера (1707–1783).
Д’Аламбер, Жан ле Рон (1717–1783) – французький математик, механік і філософ. Народився у Парижі. Отримав прекрасну освіту. Вивчивши юриспруденцію, став адвокатом. Багато часу приділяв медицині й природним наукам. У 1739 і 1740 роках представив у Паризьку АН два трактати про рух твердих тіл в рідинах і про інтегральне числення, за що був обраний членом Паризької АН. За «Роздуми про загальну причину вітрів» (1744 і 1747 роки) отримав премію Берлінської АН і був обраний її членом. В астрономії обґрунтував теорію збурення руху планет. Основні математичні дослідження належать до теорії диференціальних рівнянь. В теорії рядів його ім’ям названа достатня ознака збіжності ряду. Роботи Д’Аламбера разом з працями Л.Ейлера та Д.Бернуллі заклали основи математичної фізики.
Декарт, Рене (1596–1650) – французький філософ, фізик, фізіолог, математик, основоположник аналітичної геометрії. З 1604 по 1612 роки навчався в єзуїтському коледжі, де отримав добру гуманітарну та математичну освіту. Також він проявляв великі здібності до філософії, фізики та психології. Після закінчення освіти Декарт проводив у Парижі безтурботне життя, повне насолоди. Але врешті решт такий спосіб життя став тягарем для нього і він усамітнився для того, щоб присвятити себе математичним дослідженням. Коли йому виповнився 21 рік, Рене кілька років служив добровольцем в арміях Голландії, Баварії та Угорщини. У 1629 році переїхав до Нідерландів. Декарт надавав великого значення практичному використанню наукових знань. Для продовження занять математикою Декарт повернувся до Парижа, але столичне життя знову швидко набридло йому. Він продав маєток, який отримав від батька, і переїхав до самотнього сільського будинку в Голландії, де невдовзі захворів на запалення легень і помер. Декарт прославив своє ім’я великою кількістю трактатів з математики та філософії. Основні з них: «Геометрія» (1637), «Міркування про метод…» (1637), «Начала філософії» (1644). Крім того, він заклав основи аналітичної геометрії, дав поняття змінної величини і функції, ввів багато алгебраїчних позначень, сформулював закон збереження кількості руху, дав поняття імпульсу сили. Увів декартову систему координат. Автор теорії, яка пояснює утворення небесних тіл вихровим рухом частинок матерії (вихори Декарта). Увів поняття рефлексу (дуга Декарта). Він поставив за мету наново обґрунтувати знання з огляду на нові досягнення в природних науках тієї епохи, які він порівнює із частинами дерева: коріння – метафізика, фізика – стовбур, механіка, медицина та мораль – різні гілки. Решта наук потрібні людині для опанування нею природи. Його метод базується на поєднанні інтуїції з дедукцією: 1) вважати істиною тільки те, що не викликає жодного сумніву; 2) розкладати кожну складну проблему на простіші завдання; 3) методично переходити від відомого і дослідженого явища до невідомого й недослідженого; 4) не робити ніяких пропусків у логічних ланках дослідження.
Клеро, Алексіс Клод (1713–1765) – французький математик і астроном. Народився у Парижі. Його батько був професором математики. В десять років Клеро вже читав праці Лопіталя, у 12 років написав працю з дослідження алгебраїчних кривих 4-го порядку. У 18 років за ряд досліджень був затверджений ад’юнктом Паризької АН. В 1736 р. брав участь в Лапландській експедиції, метою якої було вимірювання дуги меридіану. У зв’язку з цими дослідженнями у 1743 році опублікував книжку «Теорія фігури Землі, заснована на началах гідростатики». У 1754 р. був обраний почесним членом Петербурзької АН. Досліджував рух комети Галлея. У математичному аналізі створив поняття повного диференціала функції кількох змінних. На прикладі одного диференціального рівняння першого порядку увів поняття загального та особливого розв’язку таких диференціальних рівнянь.
Коші, Огюстен Луї (1789–1857) – французький математик. Народився у Парижі. Першим його вчителем і вихователем був батько. Коші закінчив Політехнічну школу (1807) і Школу мостів і шляхів (1810) у Парижі. Деякий час працював інженером шляхів сполучення, а з 1813 зайнявся наукою і викладанням. Його призначили членом Академії наук. У 1816 праця Коші по теорії хвиль на поверхні важкої рідини на конкурсі Паризької АН одержала першу премію; після цього Коші запрошують у Політехнічну школу, Сорбонну і Коллеж де Франс. У 1830-1838 Коші подорожував по Європі, у Париж він повернувся в 1838, але через ворожість до нового режиму відмовився від пропонованих учених посад, не бажаючи приймати присяги, поки йому не запропонують кафедру «без умов». Роботи Коші належать до різних областей математики. Усього він написав і опублікував понад 800 робіт з арифметики і теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теоретичної і небесної механіки, математичної фізики, тощо. Його «Курс аналізу» (1821), «Резюме лекцій числення нескінченно малих» (1823), «Лекції по додатках аналізу до геометрії» (1826-1828), засновані на систематичному використанні поняття границі, стали зразком для більшості пізніших курсів. У них він дав означення поняття неперервності функції, чітко побудував теорії збіжних рядів, (зокрема, вперше установив точні умови збіжності рядів Тейлора до даної функції і провів виразну межу між збіжністю цього ряду взагалі і збіжністю до даної функції; увів поняття радіуса збіжності, довів теорему про добуток двох абсолютно збіжних рядів, тощо), дав означення інтеграла як границі сум, довів існування інтегралів від неперервної функції. Особливо велике значення мають такі результати, отримані Коші: геометричне представлення комплексної змінної як точки, яка переміщається в площині тим чи іншим шляхом інтегрування; представлення аналітичної функції у вигляді інтеграла (інтеграл Коші) та розкладання функції в степеневий ряд; розробка теорії залишків та її застосування до різних питань аналізу. В області теорії диференціальних рівнянь Коші належать: постановка однієї з найважливіших загальних задач теорії диференціальних рівнянь (задача Коші), основні теореми існування розв'язку для випадку дійсних і комплексних змінних (для останніх він розвинув метод мажорант) і метод інтегрування рівнянь з частинними похідними 1-го порядку (метод Коші – метод характеристичних смуг). У геометрії Коші узагальнив теорію багатогранників, дав новий спосіб дослідження поверхні 2-го порядку, досліджував дотичні, напрямляючі й квадратуру кривих, установив правила застосування аналізу до геометрії, а також рівняння площини і параметричне представлення прямої в просторі. Коші довів (1813), що два опуклі многогранники з відповідно конгруентними й однаково розташованими гранями мають рівні двогранні кути між відповідними гранями. В алгебрі він інакше довів основну теорему теорії симетричних многочленів, розвив теорію визначників, знайшовши всі головні їхні властивості, зокрема теорему множення (причому Коші виходив з поняття знакозмінної функції). Цю теорему він поширив на матриці. Коші належать терміни «модуль» комплексного числа, «сполучені» комплексні числа та ін. Він перший вивчив загальне невизначене тернарне кубічне рівняння і дав теореми про невизначені тернарні квадратні рівняння і порівняння з однаковим модулем і загальним розв'язком. Коші належать також дослідження з тригонометрії, механіки, теорії пружності, оптики, астрономії. Коші був членом Лондонського королівського Товариства і майже всіх Академій наук.
Лагранж, Жозеф Луї (1736–1813) – французький математик і механік італійського походження. Автор класичного трактату «Аналітична механіка», в якому встановив фундаментальний «принцип можливих переміщень» і завершив математизацію механіки. Зробив грандіозний внесок у розвиток аналізу, теорій чисел, теорії ймовірностей і чисельних методів, створив варіаційне числення. Батько хотів, щоб син став адвокатом, і тому призначив його в університет Туріну. Але в руки Лагранжа випадково потрапив трактат з математичної оптики, і він відчув своє справжнє покликання. У 1755 році Лагранж надіслав Ейлерові свою роботу про ізопериметричні властивості, що стали згодом основою варіаційного числення. У цій роботі він вирішив ряд задач, які сам Ейлер не зміг здолати. Ейлер включив похвали Лагранжу в свою роботу і (разом з Д’Аламбером) рекомендував молодого ученого в іноземні члени Берлінської Академії наук (обраний в жовтні 1756 року). У цьому ж 1755 році Лагранж був призначений викладачем математики в Королівській артилерійській школі в Туріні, де зажив слави чудового викладача. Лагранж організував там наукове товариство, з якого згодом виросла Академія наук Туріну, видавав праці по механіці і варіаційному численню (1759). Тут же він уперше застосовує аналіз до теорії ймовірностей, розвиває теорію коливань і акустику. У 1764 році Французька Академія наук оголосила конкурс на кращу роботу з проблеми руху Місяця. Лагранж представив|уявляв| роботу, присвячену лібрації Місяця, яка була удостоєна першої премії. У 1766 році Лагранж отримав другу премію Паризької Академії за дослідження, присвячені теорії руху супутників Юпітера, а до 1778 року був удостоєний ще трьох премій. У 1766 році на запрошення прусського короля Фрідріха II Лагранж переїхав до Берліна. Тут він спочатку керував фізико-математичним відділенням Академії наук, а пізніше став президентом Академії. Берлінський період (1766-1787) був найпліднішим в житті Лагранжа. Тут він виконав важливі роботи з алгебри і теорії чисел, у тому числі строго довів декілька тверджень Ферма і теорему Вільсона: для будь-якого простого числа p вираз [(p – 1)! + 1] ділиться на р. У 1772 році обраний іноземним членом Паризької Академії наук. У 1787 році, після смерті Фрідріха II, Лагранж на запрошення Людовика XVI переїхав до Парижа, де був прийнятий з королівськими почестями і став дійсним членом Паризької Академії наук. Наполеон любив обговорювати з делікатним та іронічним Лагранжем філософські питання. Він подарував Лагранжу титул графа, посаду сенатора і орден Почесного легіону. Лагранж вніс істотний вклад до багатьох розділів математики, включаючи варіаційне числення, теорію диференціальних рівнянь, вирішення задач на знаходження максимумів і мінімумів, теорію чисел (теорема Лагранжа), алгебру і теорію ймовірностей. Формула скінченних приростів і кілька інших теорем названі його ім'ям. У двох своїх важливих працях – «Теорія аналітичних функцій» (1797) і «Про розв’язування чисельних рівнянь» (1798) – підсумував все, що було відоме по цих питаннях в його час, а нові ідеї і методи, що містилися в них, були розвинені в роботах математиків XIX століття.
Лаплас, П’єр-Сімон (1749–1827) – французький математик і астроном. Народився у містечку Бомон-ан-Ож (Нормандія). Відомий своїми працями в області диференційних рівнянь, один із творців теорії ймовірностей. У працях з математичної астрономії Лаплас вивчав рух планет і довів стійкість Сонячної системи. У філософії Лаплас був прибічником детермінізму. Він вважав постулатом те, що якщо б яка-небудь розумна істота мала можливість дізнатися положення і швидкість усіх частинок в світі в деякий момент, вона б могло з абсолютною точністю передбачати хід еволюції Всесвіту. Така гіпотетична істота була пізніше названа демоном Лапласа. Вчився в школі бенедиктинців, з якої вийшов переконаним атеїстом. Заможні сусіди допомогли здібному хлопцеві вступити в університет міста Кан (Нормандія). Послана ним у Турін і надрукована там праця «Sur le calcul intégral aux différences infiniment petites et aux différences finies» (1766) звернув на себе увагу вчених, і Лаплас був запрошений у Париж. Там він послав Д’Аламберу працю про загальні принципи механіки. Той відразу оцінив юнака й допоміг улаштуватися викладачем математики у Військову академію. Одночасно Лаплас публікує важливі роботи з теорії визначників, теорії ймовірностей, математичної фізики та ін. За роботу про стійкість орбіт планет 24-річний Лаплас був обраний членом (ад’юнктом) Паризької Академії наук. У 1785 році він стає дійсним членом Паризької Академії наук. 1799 року вийшли перші два томи головної праці Лапласа – класичної «Небесної механіки». Робота над монографією продовжувалася 26 років: том III вийшов в 1802 році, том IV – у 1805, том V – у 1823-1825 рр. У «Небесній механіці» Лаплас підвів підсумки як власним дослідженням в цій області, так і працям своїх попередників, починаючи з Ньютона. У 1812 році вийшла грандіозна «Аналітична теорія ймовірності», у якій Лаплас підсумував всі свої й чужі результати. Сучасники відзначали доброзичливість Лапласа по відношенню до молодих ученим, повсякчасну готовність надати допомогу. На честь ученого названі кратер на Місяці, астероїд 4628 Лаплас, численні поняття й теореми в математиці. Лаплас був членом шести Академій наук і Королівських суспільств, у тому числі Петербурзькій Академії (1802). Його ім’я внесене до списку найбільших учених Франції, поміщеного на першому поверсі Ейфелевої башти.
Лейбніц, Ґотфрід Вільгельм (1646–1716) – німецький математик, фізик і філософ, організатор і перший президент Берлінської АН (1700), член Лондонського королівського товариства, член Паризької АН. Народився в Лейпцигу (Німеччина). У 1661р. вступив на юридичний факультет Лейпцігського університету. Окрім юридичних наук вивчав також філософію і математику. У 1666 році опублікував свою першу математичну роботу «Роздуми про комбінаторне мистецтво». У 1676 р. розробив важливі питання диференціального числення. Сконструйована ним лічильна машина виконувала не лише додавання й віднімання, як у Паскаля, але й множення, ділення, піднесення до степеня і добування квадратного і кубічного коренів. Лейбніц дослідив властивості деяких кривих, розкладення функції в ряди, увів поняття визначника. Одночасно, але незалежно від Ньютона, завершив створення диференціального та інтегрального числення. Увів багато математичних термінів (функція, диференціал, алгоритм, абсциса, ордината, координата), а також знаки диференціала, інтеграла та ін. Він був першим, хто порушив традицію писати наукові праці латиною.
Лопіталь, Гійом Франсуа Антуан, маркіз (1661–1704) – французький математик, автор першого підручника з математичного аналізу. Був членом Паризької академії наук. У 1690-х роках зайняв престижне місце в школі Лейбніца, з новим методом якого його познайомив Йоганн Бернуллі в 1692 під час свого перебування в Парижі та в маєтку Лопіталя. Головна заслуга Лопіталя полягає в першому систематичному викладі математичного аналізу, даному ним у праці «Аналіз нескінченно малих» (1696). У цій книзі зібрані й приведені в струнке ціле окремі питання, розкидані до того в різних за часом виданнях, та наведене Правило Лопіталя. Йому належить також розв’язок ряду задач, у тому числі про криву найменшого часу скочування, про криву, по якій повинен рухатися вантаж, прикріплений до ланцюга, утримуючи в рівновазі підйомний міст. Розв’язання цих задач допомогло йому стати в один ряд з І.Ньютоном, Г.Лейбніцом і Я.Бернуллі.
Маклорен, Колін (1698–1746) – видатний англійський математик. У 1709 році вступив до університету Глазго. Тут його блискучі математичні здібності розвинулися настільки, що у віці 15 років він уже відкрив кілька теорем, які й виклав згодом у одному зі своїх творів. У 1717 р. зайняв за конкурсом кафедру професора математики в Абердині, на якій залишався п’ять років. Невдовзі (1719) Маклорен був обраний членом Лондонського королівського товариства. Приводом до такого раннього обрання були два його мемуари (1718, 1719), що звернули на себе увагу математиків. Перший був присвячений викладу нового погляду на походження кривих, що привів його до відкриття кривих різних порядків, які можна представити геометричними місцями основи перпендикуляра, опущеного з даної точки на дотичну до цих кривих. Друга праця стосувався побудови кривих з використанням лише обертання заданих кутів навколо нерухомої вершини. У 1724 році, під час перебування у Франції, отримав премію Паризької академії наук за роботу, присвячену падінню тіл. Після 3-річного перебування у Франції, в 1726 р. знову отримав (завдяки впливу Ньютона) кафедру математики в Единбурзі. У 1740 році Паризька академія наук прийняла рішення розділити премію за кращий твір про припливи й відпливи між Маклореном, Д.Бернуллі та Ейлером. З усіх творів Маклорена особливий історичний інтерес викликає «Трактат флюкcій», в якому автор намагається заповнити важливу прогалину аналізу нескінченно малих, допущену його авторами (Ньютоном і Лейбніцом), що полягала у відсутності доведень найголовніших положень даного аналізу. Доведення Маклорена відзначалися строгістю й побудовані за зразками давньогрецьких геометрів.
Ролль, Мішель (1652–1719) – французький математик. Народився в містечку Амбер (провінція Овернь). Після прибуття в Париж, у віці 23 років, він на початку добував собі кошти для існування листуванням. Його математичні відомості, що виявилися, між іншим, в розв’язанні складної задачі, запропонованої Озанамом, відчинили йому двері академії. У 1685 році він став її членом. У 1701 році Ролль виступив з різкими запереченнями як проти логічних основ диференціального числення, так і досягнутих Декартом результатів. Варіньон викрив нагромадження помилок, допущених Роллем, і дав в своєму спростуванні дійсне поняття про диференціали. У 1702 році в «Journal des Savans» Ролль виступив з новою статтею проти диференціального числення. У 1705 році академія визнала Ролля неправим, з чим пізніше погодився і сам Ролль. Потім виникла суперечка між Роллем і абатом де Гюа з приводу нападок першого на аналіз Декарта. Полемічні твори Ролля повні помилок і відрізняються неясністю викладу. Незважаючи на зневагу, з якою ставилися і ставляться до суперечки Ролля про диференціальне числення, він все-таки змусив Лейбніца і його прибічників звернути більше уваги на логічні підстави предмету, ніж це звичайно робиться щодо нових вчень. Ще важливішими є роботи Ролля з чисельного розв’язання рівнянь і особливо знайдений ним метод каскадів для визначення меж, що складають корінь рівняння. Відома його теорема: «між двома, наступними один за одним, коренями рівняння f'(x) = 0 може знаходитися не більше одного кореня рівняння f(x) = 0». Виклад всіх цих досліджень Ролля знаходиться в його «Алгебраїчному трактаті» і в «Sur les effections geometriques» (Париж, 1690). У «Алгебраїчному трактаті» звертають на себе увагу: розділ про пошук загального найбільшого дільника двох многочленів, що складають рівняння, і теорема про число значень кореня n-ного степеня. Всі ці дослідження Ролля, незважаючи на свою важливість, частково були не помічені сучасниками, а частково забуті, й були оцінені набагато пізніше.
Сімпсон, Томас (1710–1761) – англійський математик. Займаючись приватними уроками математики і ремеслом ткача шовкових тканин, він працював над своїм першим твором «A new treatise of fluxions», надрукованим в 1737 році. У 1740 році побачив світ другий твір Сімпсона, присвячений теорії ймовірностей: «A treatise on the nature and laws of change». Оригінальних рішень, що належать самому авторові, небагато. Потім вийшли «Essay on several subjects in speculative and mixed mathematics» (1740), «The doctrine of annuities and reversions» (1742), «Mathematical Dissertations on а variety of physical and analytical subjects» (1743). У одній з дисертацій цієї збірки, озаглавленій «Of the areas of curves etc. by approximation», виведена формула (відома як правило Сімпсона) наближеного визначення квадратури кривих, що приймаються, за первинною ідеєю Ньютона, за параболи. У 1746 році Сімпсон був обраний членом Лондонського королівського товариства, а раніше – членом заснованого в 1717 році в Лондоні Математичного товариства. Призначений професором у Вульвіч, Сімпсон склав підручники з елементарної математики. У особливих розділах геометрії розглядаються задачі про найбільші і найменші величини, що розв’язують за допомогою елементарної геометрії, правильні многогранники, вимірювання поверхонь, об’єми тіл і, нарешті, змішані задачі. У підручнику з тригонометрії Сімпсон користується новим засобом доведення – введенням допоміжного кута. Давно вже відомий арабським ученим, цей засіб не був новиною в науці. Але в Європі до появи «Тригонометрії» Сімпсона про нього не знали. Сімпсон вніс спрощення в обчислення синусів і косинусів.
Тейлор, сер Брук (1685–1731) – англійський математик. Народився у Кенті. В 1701 році вступив до коледжу Сент-Джон у Кембриджі, де отримав ступінь бакалавра (1709) та доктора права (1714). Незалежно від цього він вивчав математику, і вже у 1708 році у «Philosophical Transactions» з’явилася його стаття про центр коливань. Пізніше в цьому ж журналі були надруковані його статті, що стосувалися польоту снарядів, взаємодії магнітів, капілярних явищ, зчеплення між рідинами і твердими тілами. Він показав, що середнім перерізом вільної поверхні рідини між двома вертикальними пластинками, нахиленими під малим кутом одна до одної, є парабола. Статті Тейлора були визнані настільки цінними, що у 1712 році його обрали членом Королівського товариства. Йому належить твір «New principle of linear perspective» (1715) і великий трактат «Methodus incrementorum directa et inversa» (1715-1717), в якому, крім виведення його знаменитої формули (що виражає приріст функції у вигляді ряду, розташованого за зростаючими степенями приросту незалежної змінної), подана теорія коливання струн, в якій він приходить до тих самих результатів, до яких пізніше прийшли Д’Аламбер і Лагранж. Він перший займався теоретичним питанням про астрономічну рефракцію в атмосфері. Маючи видатні математичні здібності, Тейлор одночасно був досить гарним музикантом і успішно займався живописом, а наприкінці життя захопився дослідженнями питань релігії та філософії.
Фермá, П’єр (1601–1665) – французький юрист і математик. Народився у Бомон-де-Ломань (Франція). З 1631р. до кінця життя працював радником парламенту в Тулузі. На дозвіллі вивчаючи математику, займався дослідженнями в галузі теорії чисел, геометрії, алгебри, теорії ймовірностей. Більшість математичних відкриттів стали відомими з його листів до Б.Паскаля, Р.Декарта та ін. У теорії чисел Ферма знайшов спосіб систематичного знаходження дільників довільного числа, поставив проблему знаходження цілочислових розв’язків рівнянь
,
де а
– задане неквадратне число. З іменем
Ферма пов’язують дві знамениті теореми
– велику
(«Рівняння
не має цілих додатних розв’язків при
будь-яких значеннях n > 2»)
і малу
(«Вираз
ділиться на р,
якщо р
– просте число») теореми
Ферма.
Остання відіграє фундаментальну роль
в теорії чисел. Методи Ферма знаходження
максимумів і мінімумів, побудови
дотичних, обчислення квадратур стали
важливими віхами в передісторії
диференціального та інтегрального
числення.Якóбі, Карл Густав Якоб (1804–1851) – німецький математик, народився у Потсдамі. У 16 років вступив до Берлінського університету. Самостійно вивчав праці Ейлера, Лапласа, Лагранжа і класичні мови. У 1825 році захистив дисертацію з питання розкладання алгебраїчних дробів на елементарні, і отримав ступінь доктора філософії. Один з творців теорії еліптичних функцій, яку застосував до вивчення руху дзиґи, дослідження геодезичних ліній на еліпсоїді та інших задач. Зробив важливі відкриття в галузі теорії чисел, лінійної алгебри, варіаційного числення і теорії диференціальних рівнянь, особливо що стосується диференціальних рівнянь 1-го порядку з частинними похідними, увів у вжиток функціональні визначники і вказав на їх роль при заміні змінних у кратних інтегралах і при розв'язуванні рівнянь з частинними похідними. З іменем Якобі пов’язані теореми, функції, тотожності, рівняння, формули, інтеграл, крива, матриця, детермінант, радикал, символ тощо.
Барковський В.В. Математика для економістів. Вища математика / В.В.Барковський, Н.В.Барковська. – К.: Національна академія управління, 1999. – 399 с.
Бортей М.С. Лінійна алгебра: Навчальний посібник / М.С.Бортей, І.І.Дрінь, Л.О.Федорук, С.І.Пертен, Ю.П.Стецько. – Чернівці: ЧТЕІ КНТЕУ, 2006. – 190 с.
Бугір М.К. Математика для економістів: Посібник / М.К.Бугір. – К.: Видавничий центр «Академія», 2003. – 520 с.
Васильченко І.П. Вища математика для економістів. Загальні розділи: Підручник / І.П.Васильченко. – К.: Кондор, 2005. – 608 с.
Грисенко М.В. Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й задачі: Навчальний посібник / М.В.Грисенко. – К.: Либідь, 2007. – 720 с.
Дрінь І.І. Диференціальне числення функції однієї змінної. Навчально-методичний посібник / І.І.Дрінь, Л.О.Федорук. – Чернівці: ЧТЕІ КНТЕУ, 2010. – 92 с.
Дрінь І.І. Інтегральне числення. Навчально-методичний посібник / І.І.Дрінь, Л.О.Федорук. – Чернівці: ЧТЕІ КНТЕУ, 2010. – 65 с.
Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник / М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. – М.: Дело, 2000. – 688 с.
Лавренчук В.П. Математика для економістів: теорія та застосування. Підручник / В.П.Лавренчук, Т.І.Готинчан, В.С.Дронь, Н.С.Кондур. – К.: Кондор, 2007. – 596 с.
Лавренчук В.П. Вища математика. Загальний курс. Частина 1. Лінійна алгебра й аналітична геометрія: Навчальний посібник / В.П.Лавренчук, П.П.Настасієв, О.В.Мартинюк, О.С.Кондур. – Чернівці: Книги-XXI, 2010. – 319 с.
Лавренчук В.П. Вища математика. Загальний курс. Частина 2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння: Навчальний посібник / В.П.Лавренчук, П.П.Настасієв, О.В.Мартинюк, О.С.Кондур. – Чернівці: Книги-XXI, 2010. – 556 с.
Скицько А.І. Лінійна алгебра та аналітична геометрія для економістів: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей ВНЗ / А.І.Скицько. – Чернівці: Золоті литаври, 2003. – 176 с.