Чернівецький торговельно-економічний інститут

Київського національного торговельно-економічного університету

Кафедра вищої математики

та інженерно-технічних дисциплін

Опорний конспект лекцій

Частина 2

Чернівці

2 011

Чернівецький торговельно-економічний інститут

Київського національного торговельно-економічного університет

Кафедра вищої математики

та інженерно-технічних дисциплін

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ

ЕКОНОМІСТІВ

Опорний конспект лекцій

Частина 2

Чернівці

2011

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ЧТЕІ КНТЕУ

заборонено

Укладач: В.Р.Бурачек, кандидат фізико-математичних наук, доцент

Розглянуто і схвалено на засіданні кафедри вищої математики та інженерно-технічних дисциплін ЧТЕІ КНТЕУ …….. 2011 року (протокол №…), методичної ради обліково-економічного факультету ЧТЕІ КНТЕУ ….. 2011 року (протокол №…) та на засіданні методичної ради ЧТЕІ КНТЕУ …. 2011 року (протокол № …).

Рецензент:

Навчально-методичне видання

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

Опорний конспект лекцій

Частина 2

освітньо-кваліфікаційний рівень «бакалавр»

напрям підготовки 0305 «Економіка і підприємництво»

Укладач: БУРАЧЕК Віктор Романович

Комп’ютерна верстка В.Р.Бурачек

З М І С Т

ВСТУП………………………………………………………………………………..5

Тема 10. Похідна функції однієї змінної…………………………………………...6

Тема 11. Диференціал функції однієї змінної…………………………………….12

Тема 12. Основні теореми диференціального числення…………………………15

Тема 13. Основні поняття теорії функцій багатьох змінних…………………….19

Тема 14. Невизначений інтеграл та його властивості……………………………29

Тема 15. Основні методи інтегрування…………………………………………...32

Тема 16. Поняття визначеного інтеграла та його застосування…………………41

Тема 17. Поняття та властивості кратних інтегралів…………………………….50

Тема 18. Диференціальні рівняння першого порядку………………………….

Тема 19. Диференціальні рівняння вищих порядків…………………………..

Тема 20. Числові та степеневі ряди……………………………………………..

Персоналії…….

Перелік основних питань……

Список літератури…….

ВСТУП

Даний опорний конспект лекцій з навчальної дисципліни «Математика для економістів», запропонований студентам Чернівецького торговельно-економічного інституту КНТЕУ, розроблений відповідно до програми навчальної дисципліни, розглянутої та схваленої кафедрою вищої математики та інженерно-технічних дисциплін, і затвердженої методичними радами обліково-економічного факультету та Чернівецького торговельно-економічного інституту КНТЕУ.

Зміст опорного конспекту складає матеріал основних питань, розділений за темами, викладений у вигляді структурно-логічних схем, діаграм, основних положень та означень, що охоплює першу половину тем, що викладаються студентам впродовж першого року навчання. Враховуючи фахову орієнтацію студентів, наголос зроблений на важливість процесу чіткого оволодіння основними термінами та поняттями, а також шляхами їх застосування при знаходженні розв’язків економічних задач дослідження ринку товарів і послуг.

В кінці кожної теми наведені посилання на рекомендовані бібліографічні джерела, а також контрольні питання, які дозволять студентам ширше вивчити дисципліну при самостійному опрацюванні матеріалу. Завершує конспект короткий перелік персоналій – біографічні дані згаданих у конспекті вчених, що дасть змогу студентам розширити власний світогляд, а також список рекомендованої основної та додаткової літератури.

Даний опорний конспект може бути використаний студентами як денної, так і заочної форми навчання різних спеціальностей під час аудиторних занять та самостійній роботі.

В тексті опорного конспекту використані такі умовні позначення:

– ключові слова;	– означення;	– теорема;
– зауваження;	– рекомендована література;	– контрольні запитання;
– приклад;	– місце для нотаток.

Тема 10. Похідна функції однієї змінної.

1. Класичне означення похідної.

2. Теорема про неперервність диференційованої функції.

3. Геометричний зміст похідної.

4. Рівняння дотичної до графіка функції в даній точці.

5. Механічний зміст похідної.

6. Економічний зміст похідної.

7. Правила диференціювання складних виразів.

8. Таблиця похідних.

Ф ункція, приріст, границя, диференціювання, неперервність, змінна, область визначення, дотична, кутовий коефіцієнт, миттєва швидкість, граничні витрати виробництва, еластичність.

Нехай функція y = f(x) визначена на проміжку (a, b) (можливо, нескінченному). Візьмемо довільну точку х₀  Х і надамо змінній довільного приросту х 0 такою, щоб (х₀+х)Х. Відповідного приросту Δу набуде й функція

.

Похідною функції y = f(x) у точці х₀ називається границя відношення приросту функції Δу до приросту аргумента Δх при умові, що приріст аргумента прямує до нуля:

Якщо функція y = f(x) диференційовна (має похідну) в точці х₀, то вона в цій точці неперервна.

Твердження, обернене до попереднього, є неправильним, тобто неперервність функції в точці не є ознакою її диференційовності.

Ф ункція y = |x| є неперервною в точці х₀ = 0, однак, похідної в цій точці не має через те, що відсутня границя в даній точці:

Геометричний зміст похідної

Механічний зміст похідної

Економічний зміст похідної

Застосування похідної

Еластичністю функції у(х) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при Δх → 0:



Еластичність функції показує наближено, на скільки процентів зміниться функція y = f(x) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Властивості еластичності:

Еластичність функцій використовують при проведенні аналізу попиту і споживання. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу) – коефіцієнт, який показує наближено, на скільки процентів зміниться попит (об'єм споживання) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Я кщо еластичність попиту (за абсолютною величиною) більша від одиниці, тоді попит вважають еластичним; якщо дорівнює одиниці – нейтральним; якщо менша від одиниці – нееластичним.

Таблиця похідних

№	Функція	Похідна	Примітка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

В изначити вигляд похідної функції .

.

Основна: . Додаткова: .

1. Що таке «диференціальне відношення?

2. Як пов’язане диференціальне відношення з похідною?

3. Дайте повне означення похідної.

4. Доведіть, що при диференціюванні функції її вигляд не змінюється.

5. Чи впливає переставляння місцями множників у добутку двох функцій на результат диференціювання такого добутку?

6. Щ о таке еластичність функції?