Тема 20. Числові та степеневі ряди.

1. Поняття числового ряду.

2. Збіжні та розбіжні ряди.

3. Теорема про порівняння рядів.

4. Ознака Д’Аламбера збіжності числового ряду.

5. Знакопереміжні ряди. Ознака Лейбніца.

6. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності.

7. Функціональні ряди.

8. Степеневі ряди. Теорема Абеля.

9. Ряди Тейлора і Маклорена.

Ч исловий ряд, члени ряду, сума ряду, часткова сума, залишок, границя ряду, ряд з додатними членами.

Символ

називають нескінченним рядом або просто рядом, а числа – членами ряду.

..……………………

…………………………………….

Якщо часткова сума s_n має певну границю s, то ряд називається збіжним, у число називають сумою збіжного ряду.

Різницю між сумою ряду і сумою перших n його членів називають залишком ряду (r_n):

.

Висновки:

Прямування до нуля загального члена ряду є необхідною умовою збіжності ряду. При невиконанні цієї умови ряд є розбіжним. Однак, умова не є достатньою: вона може виконуватися і для деяких розбіжних рядів. Прикладом такого ряду є так званий гармонічний ряд

.

Нехай маємо два ряди з додатними членами

,

.

Якщо, починаючи з деякого n, справджується нерівність

,

то при збіжності першого ряду збігається й другий ряд, а при розбіжності другого ряду розбігається перший ряд (теорема про порівняння рядів).

Ознака Д'Аламбера: Якщо існує границя відношення , то при l < 1 ряд з додатними членами збігається, а при l > 1 – розбігається. Якщо ж l = 1, то для перевірки збіжності ряду треба розглядати інші ознаки.

Ряд називається знакопереміжним, якщо його члени почергово змінюють знак з додатного на від’ємний.

О знака Лейбніца: Якщо члени знакопереміжного ряду постійно спадають за абсолютною величиною і прямують до нуля при n → ∞, то ряд збігається.

Похибка при обчисленні суми збіжного знако-переміжного ряду не перевищує за абсолютною величиною першого відкинутого члена і має його порядок.

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як додатні, так і від’ємні.

Якщо збігається ряд

,

складений з абсолютних величин членів даного знако-змінного ряду, то збігається й даний ряд.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається не лише він сам, але й ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо сам ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розбігається.

Ряд називають функціональним, якщо його члени є функціями від деякої змінної:

.

Сукупність тих числових значень змінної, для яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності цього ряду.

Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду

.

Константи а₀, а₁, а₂, ..., а_n, ... називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Якщо степеневий ряд

з бігається при х = х₀ ≠ 0, то він абсолютно збіжний при всіх значеннях х, для яких , і навпаки, якщо розбігається при х = х₀, то він розбігатиметься при всіх значеннях х, для яких (теорема Абеля).

В інтервалі збіжності: