Тема 17. Поняття та властивості кратних інтегралів.

1. Обчислення об’єму циліндричного бруса.

2. Означення подвійного інтеграла.

3. Властивості подвійного інтеграла.

4. Формули перетворення координат.

5. Поняття та застосування визначника Якобі.

6. Поняття потрійного інтеграла.

І нтеграл, циліндричний брус, подвійний інтеграл, перетворення координат, визначник Якобі (якобіан), потрійний інтеграл.

Під об'ємом циліндричного бруса В будемо розуміти границю суми об'ємів циліндрів σ_n при λ_k → 0.

Оскільки сума у формулі об’єму циліндричного бруса за своїм змістом є інтегральною сумою, то означену границю називають подвійним інтегралом:

.

Властивості подвійного інтеграла:

При обчисленні подвійного інтеграла порядок вибору змінних інтегрування може бути довільним.

Якщо обернені перетворення переводять замкнену обмежену область А в замкнену обмежену область В і є взаємно однозначним, і якщо функції перетворення координат мають в області В неперервні частинні похідні першого порядку, а також відмінний від нуля якобіан, а функція f(x, y) неперервна в області А, то справедлива така формула заміни змінних:

.

Основна: . Додаткова: .

1. Коли інтеграл називають кратним?

2. В якому випадку подвійний інтеграл від функції є сумою таких інтегралів по різних областях визначення цієї функції?

3. Чи впливає порядок вибору змінних на результат обчислення кратного інтеграла?

4. Що таке «якобіан» і якого його роль в обчисленні подвійного інтеграла?

Тема 18. Диференціальні рівняння першого порядку.

1. Означення диференціального рівняння.

2. Поняття розв’язку диференціального рівняння, загальний,

частинний та особливий розв’язки.

3. Теореми Коші.

4. Рівняння з відокремлюваними змінними.

5. Однорідні диференціальні рівняння.

6. Лінійні диференціальні рівняння.

7. Диференціальні рівняння у повних диференціалах.

8. Рівняння, що не розв’язуються відносно похідної.

Д иференціальне рівняння, частинні похідні, інтегральна крива, загальний розв’язок, частинний розв’язок, особливий розв’язок.

Нетотожне співвідношення, в якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням:

, ,

Якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією більше ніж однієї змінної, то диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних:

, .

Розв’язком диференціального рівняння називається така n разів диференційовна функція у(х), яка при підставлянні у це рівняння перетворює його в тотожність:

.

Загальний розв'язок диференціального рівняння n-ного порядку вимагає n послідовних інтегрувань, отже він міститиме таку ж кількість констант С_і:

.

Неявна форма запису загального розв’язку диференціального рівняння називається загальним інтегралом:

.

Частинним інтегралом або частинним розв'язком дифрівняння називається загальний розв’язок цього рівняння, для якого вказані конкретні значення постійних С_і, для визначення яких необхідно задати стільки умов, скільки є констант; умови включають задання значень функції та її похідних у певній точці:

,

і називаються початковими умовами, а числа, отримані при їх виконанні – початковими значеннями.

З адача Коші: знайти умови, що накладаються на функцію f(x, y), за яких дифрівняння має розв’язок, який задовольняє початкову умову у(х₀) = у₀.

Перша теорема Коші: Якщо функція f(x, y) визначена і неперервна в області D разом зі своєю частинною похідною ∂f/∂y по незалежній функції у, то для довільної точки М (х₀, у₀) з області D існує єдиний розв'язок y = φ(x) диференціального рівняння у явній формі, який задовольняє початкову умову

.

Друга теорема є аналогом першої, але у n-вимірному просторі, тобто, задає умови існування розв’язку диференціального рівняння n-ного порядку.

Р озглянемо рівняння . Його права частина неперервна при y ≥ 0. Функція неперервна при y > 0. Задане рівняння має ціле сімейство розв'язків:

,

де С – довільна стала. Отриманий вираз називається загальним розв’язком заданого рівняння. Геометрично – це сімейство напівпарабол в області D.

Безпосередньою підстановкою маємо розв’язок рівняння у = 0, який не можна отримати при жодному значенні сталої С. Такий розв'язок називається особливим розв’язком диференціального рівняння.

Диференціальні рівняння вигляду

називаються рівняннями з відокремлюваними змінними.

Диференціальні рівняння вигляду

називаються однорідними, якщо виконується умова , де функція f(x, y) називають однорідною функцією n-ного порядку виміру відносно обох змінних.

Рівняння

називається лінійним відносно шуканої функції та її похідної.

Якщо у рівнянні виконується тотожність , то таке рівняння називається рівнянням у повних диференціалах.

.

У цій формулі при інтегруванні функції Р(х, у) змінна у розглядається як параметр.

Але вираз не завжди є повним диференціалом. Постає питання про знаходження такої функції μ(х,у), домноження на яку перетворить ліву частину рівняння на повний диференціал.

Якщо диференціальне рівняння має вигляд

,

то воно називається рівнянням Клеро.

Диференціальне рівняння більш загального вигляду

,

називають рівнянням Лагранжа.

Проводячи аналогічну до попереднього випадку заміну похідної на параметр р та знаходячи диференціал отриманого виразу, при умові, що функція y = f(x, p) є функцією двох змінних, можна отримати рівняння:

.

Основна: . Додаткова: .

1. Яке рівняння називають диференціальним?

2. Що означає термін «рівняння у частинних похідних»?

3. Як визначити порядок диференціального рівняння?

4. Дайте означення загального інтеграла диференціального рівняння.

5. Що таке «частинний інтеграл» диференціального рівняння?

6. Сформулюйте першу та другу теорему Коші щодо умов існування розв’язку диференціального рівняння.

7. Яка умова повинна виконуватися для того, щоб диференціальне рівняння можна було назвати однорідним?

8. Що таке «рівняння у повних диференціалах»?

9. Який вигляд має рівняння Клеро?

10. Яке з рівнянь – Клеро чи Лагранжа – має більш загальний вигляд?