4. Основные законы геометрической оптики.

Формулировка принципа. Ферма предположил, что распростра­нение света из одной точки в другую происходит по такому пути, прохождение которого требует меньше времени, чем любые другие пути между теми же точками. В этом заключается существо принципа Ферма, называемого также принципом наименьшего времени.

Согласно принципу наименьшего времени Ферма, вариация интеграла, которым определяется время распространения света, должна обращаться в нуль

(3.16)

Это и есть математическое выражение принципа Ферма.

Выражение (3.16) в действительности является более общим, чем принцип Ферма, сформулированный в своем первоначальном виде. Дело в том, что условие 8t = 0 не является условием только минимума; это есть условие экстремума — минимума, максимума или стационарности. Следовательно, свет при распространении между двумя точками может «выбирать» не только путь, требующий минимального времени прохождения, но также путь, требующий максимального времени, либо пути, требующие одинакового вре­мени. Все эти три случая станут более ясными на следующих кон­кретных примерах.

Закон прямолинейного распространения света в однородной среде как следствие принципа Ферма. Ввиду того что минимальное расстояние между двумя точками есть прямая линия, соединяющая эти точки, прямолинейное распространение света в однородной среде является прямым следствием принципа Ферма.

Вывод закона отражения. Из точки А направим луч света на зеркальную поверхность (рис. 3.12). Отраженный от зеркала луч достигает точки В, Исходя из принципа Ферма, определим путь, тре­бующий минимального времени распространения из точки А в точку В. Опустим нормали из точек А и В к зеркальной поверхности. Вве­дем обозначения: А₁О = х, А₁В₁ = а = const, АА₁ = h₁, ВВ₁ = h₂. Время, требуемое для распространения света из точки А в точку В с условием отражения от зеркальной поверхности, равно

(3.17)

г де υ — скорость распространения света. Как видим, время рас­пространения света зависит от положения точки О, т. е. от пере­менной х. Тогда согласно принципу Ферма имеем

(3.18)

Отсюда sin i + sin i₁ = 0 и i = - i₁ , Знак минус показывает, что углы iи i₁ расположены по разным сторонам нормали к поверхности.

Следовательно, как вытекает из принципа Ферма, минимальным является путь, при котором имеет место известный нам закон отражения.

Вывод закона преломления. Пусть имеем две граничащие проз­рачные среды с показателями преломления п₁ и п₂ (рис. 3.13). Луч, вышедший из точки А первой среды, после преломления на границе раздела будет следовать по некоторой прямой OS. Докажем, исходя из принципа Ферма, что луч света из точки А в точку В распростра­нится в соответствии с законом преломления sini/sinr=n₂/n₁

Как и в предыдущем случае, обозначим: А₁О = х, А₁В₁ = а = const, АА₁ = h₁, ВВ₁ = h₂. Тогда время, требуемое для распро­странения света из точки А в точку В, равно

(3.19)

где υ₁ и υ ₂ — скорости распространения света соответственно в пер­вой и во второй средах. Время распространения света зависит от положения точки 0, Согласно принципу Ферма, луч света из всевозможных путей (АОВ, АО₁В, АО₂В и т. д.) «выберет» тот, который требует минимального времени распространения, т.е. будет реаль­ным тот путь, для которого имеет место dt = 0. Следовательно,

(3.20)

Отсюда

(3.21)

Поскольку любой путь от точки А до точки В, лежащий вне плоско­сти, проведенной через точки А и В нормально к границе раздела *, проходится светом за большее время, чем путь АОВ, лежащий в плоскости падения, то из принципа Ферма следует: путь, требую­щий минимального времени, лежит в плоскости падения, т. е. па­дающий и преломленные лучи лежат на одной плоскости — плоско­сти падения. Аналогичное положение имеет место и при отражении света от границы раздела двух сред.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4