- •Дифференциальные уравнения Введение
- •Дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Уравнения Бернулли
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n
- •Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства
- •Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n
- •Линейные однородные ду порядка n с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные ду
- •Линейные неоднородные ду 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •Решение систем линейных ду 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
- •Раздел: «Ряды» Числовые ряды
- •Элементарные свойства рядов
- •Признаки сходимости
- •Числовые ряды с положительными членами
- •1Й признак сравнения
- •II признак сравнения (предельный)
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда
- •Равномерная сходимость степенного ряда
- •Степенной ряд по степеням х-а
- •Ряды Тейлора
- •Единственность разложения функции в ряд Тейлора
- •Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •Ряды Маклорена
- •Приближенное вычисление с помощью рядов Тейлора и Маклорена
- •Тригонометрические ряды Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье от четных и нечетных функций и на интервале
- •Тригонометрический ряд Фурье на интервале
- •Ряды Фурье на интервале
Решение систем линейных ду 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
Рассмотрим систему ДУ
, где a,b,c,d – числа.
- искомая функция - функции переменной х
продифференцируем по переменной х первое уравнение системы:
Дифф.(1)
Подставим из (2)
подставим из (1)
перенесем слагаемые с и налево
получим линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение получим , продифференцируем и найдём .
Пример:
1) начальные условия:
Раздел: «Ряды» Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом называется выражение , где – общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный ряд
-знакочередующийся ряд
Последовательность , где ; ; - последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
, где n – частичная сумма ряда - сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму
2)
3)
= не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится
Элементарные свойства рядов
1) Если (1) сходится и имеет сумму S, то (2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.
Доказательство: Пусть , n– ая частичная сумма 1 ряда.
, n–ая частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится, то .
Рассмотрим (2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2.
тоже сходится с суммой .
Доказательство:
Обозначим - n – частичная сумма 1 ряда.
- n – частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и сумма .
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
, где - n – частичная сумма
- n – остаток ряда.
n – остаток ряда тоже является рядом.
Если , то и его остаток тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание :
1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4) Если сходится с суммой S .
Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.