- •Дифференциальные уравнения Введение
- •Дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Уравнения Бернулли
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n
- •Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства
- •Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n
- •Линейные однородные ду порядка n с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные ду
- •Линейные неоднородные ду 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •Решение систем линейных ду 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
- •Раздел: «Ряды» Числовые ряды
- •Элементарные свойства рядов
- •Признаки сходимости
- •Числовые ряды с положительными членами
- •1Й признак сравнения
- •II признак сравнения (предельный)
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда
- •Равномерная сходимость степенного ряда
- •Степенной ряд по степеням х-а
- •Ряды Тейлора
- •Единственность разложения функции в ряд Тейлора
- •Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •Ряды Маклорена
- •Приближенное вычисление с помощью рядов Тейлора и Маклорена
- •Тригонометрические ряды Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье от четных и нечетных функций и на интервале
- •Тригонометрический ряд Фурье на интервале
- •Ряды Фурье на интервале
Линейные неоднородные ду
Это уравнения вида:
Теорема об общем решении ДУ: Общее решение ДУ(*) имеет вид:
, где - общее решение соответствующего однородного уравнения.
Доказательство: подставим в
раскроем скобки и перегруппируемся:
(верно)
Если даны н.у
нужно показать, что все константы находятся однозначно
, где ФСР
Продифференцируем нужное количество раз и подставим н.у
получим систему n-линейных уравнений с n неизвестными . Определитель этой системы
- определитель Вронского системы функций .
Т.к - ФСР линейная система имеет единственное решение и все константы находятся однозначно.
Конец доказательства.
Замечание: Общее решение соответствующего однородного уравнения
- линейная комбинация ФСР – известно
Основная трудность нахождения yч – решения неоднородного уравнения.
Линейные неоднородные ду 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Рассм. ДУ
Общее решение такого уравнения:
, где
ФСР - уже рассматривали
Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения
, если f(x) имеет специальный вид.
Р ассмотрим следующие случаи:
I. , где - многочлен степени n.
а) - не корень характеристического уравнения
, где - многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдём все буквы.
б) - корень характеристического уравнения кратности 1
в) - корень характеристического уравнения кратности 2
. ,где M,Nчисла
a) не корень характеристического уравнения неопределенные коэффициенты.Подставив в ДУ и приравняв коэффициенты при
находим А и В
б) корень характеристического уравнения кратности 1
|
Замечание : Если в правой части есть только или
в частном решении должны быть и sin и cos , т.е тригонометрия должна быть полной.
.
Где , -многочлены степеней m и n
a) не корень характеристического уравнения многочлены степени к с неопределенными коэффициентами
б) корень характеристического уравнения
Метод вариации
Рассмотрим ДУ:
Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
, где и - произвольные const, - ФСР.
Будем варьировать и и считать, что и зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:
(*)
объединим и в систему
- эта система для нахождения и имеет единственное решение, т.к определитель системы ,
для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера
, где
, где
решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.
- проинтегрируем по х
, где А и В – константы интегрирования
Таким образом общее решение неоднородного уравнения:
Пример:
1)