Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n

(*)

Можно показать что уравнение имеет n линейно независимых решений

Определение: n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решения.

О бщее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n , т.е (*) – линейная комбинация фундаментальной системы решений:

, где - фундаментальная система решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Э то уравнения вида: , где p и g – числа(*)

Определение: Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 - два действительных различных решения.

2)D=0 - один действительный корень кратности 2.

3)D<0 - два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .

Будем показывать что:

1) и - ЛНЗ

2) и - решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.

Х арактеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что - решение (*), подставим

+ p +g =0

верное равенство решение (*)

аналогично показывается для y₂.

В ывод: - ФСР (*) общее решение

Рассмотрим 2случай: D=0 - 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

подставим в ДУ

- решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0 - 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. уравнение

к омплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

- будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б) - решение ДУ

верное равенство - решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

В ывод: ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .

Пример:

Н.у:

Линейные однородные ду порядка n с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида: , где а_i – числа.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Слева стоит многочлен степени n, который имеет n корней с учётом их кратности и комплексности, следовательно ФСР будет состоять из n решений:

1. Каждому простому корню характеристического уравнения , (имеющему кратность 1)ставится в соответствие

2. Каждому действительному корню кратности r ставится в соответствие r решений:

3. Каждой паре комплексно сопряжённых корней 2 фундаментальных решения:

4. Если пара комплексно сопряжённых корней имеет кратность 2 и выше то ФСР строятся аналогично 2 случаю.

О бщее решение уравнения – линейная комбинация фундаментальных решений

Основная трудность состоит в том чтобы правильно решить характеристическое уравнение.

Пример: