Условия разложимости функции в ряд Тейлора
Определение:
Семейство
функций
называется
равномерно
ограниченным на множестве D,
если существует число M>0,
что
сразу
для всех функций семейства и любого
.
Теорема:Пусть
функция
-любое
количество раз дифференцируема в
окрестности точки
и семейство ее производных любого
порядка равномерно ограничено в
окрестности точки
,то
функцию
можно
разложить в ряд Тэйлора в окрестности
точки
.
Покажем что
Остаточный член
,
где M>0
(т.к семейство производных равномерно
ограничено)
Рассмотрим
Можно показать по признаку Даламбера, что ряд сходится при любом х.
По необходимому
признаку сходимости
Рассмотрим
Конец доказательства.
Ряды Маклорена
Если в ряде Тейлора
,
то получим ряд Маклорена по степеням
х.
Остаточный член
Получим разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена и найдём интервалы сходимости этих рядов.
1
)
Интервал сходимости
этого ряда найдем непосредственно по
признаку Даламбера.
Интервал сходимости
П
ри
любом х ряд сходится по признаку
Даламбера.
- интервал сходимости.
2)
т
.к
семейство производных любого порядка
равномерно ограничено
при
интервал
сходимости
3)
- интервал сходимости.
4) Биномиальное разложение
- интервал
сходимости.
5) f(x)=ln(1+x)
Воспользуемся предыдущим биномиальным разложением:
проинтегрируем
почленно на отрезке
с
нимем
модуль, т.к 1+х>0
- можно
показать.
6) f(x)=arctgx
воспользуемся
биномиальным разложением и заменим
проинтегрируем на
Приближенное вычисление с помощью рядов Тейлора и Маклорена
С помощью рядов Тейлора и Маклорена можно приближенно вычислять значения функций. Для этого функцию раскладывают в степенной ряд Тейлора и заменяем сумму ряда его частичной суммой. Возникающую при этом погрешность (остаточный член) оценивают следующим образом:
1) если ряд знакочередующийся, то последствию из теоремы Лейбница, для знакочередующихся рядов, остаточный член не превосходит модуля 1 отбрасываемого члена.
2) если ряд знакоположительный, то остаточный член оценивается непосредственно.
Примеры:
1)
2)
3)
Тригонометрические ряды Фурье
Тригонометрическим
рядом Фурье для функции f(x)
на интервале от
называется ряд вида:
,
где
Условия разложимости:
Пусть f(x):
1) Периодическая
с
2) Кусочномонотонна
3) Ограничена на
функцию
f(x)
можно разложить в ряд Фурье на
,
который сходится к этой функции во всех
точках непрерывности, в точках разрыва
сумма ряда равна полусумме левого и
правого предела функции.
Замечание: Основная трудность построения рядов Фурье в вычислении интегралов.
Пример:
Разложить функцию f(x)=x на в тригонометрический ряд Фурье, сделать чертеж.
Тригонометрический ряд Фурье от четных и нечетных функций и на интервале
Е
сли
f(x)
– четная
-
ряд Фурье по косинусам.
Если f(x)
– нечетная
-
ряд Фурье по синусам.
Если функция f(x)
определена на интервале
ее
нужно продолжить (доопределить) на
интервал
и
только потом построить ряд Фурье.
Продолжение функции на интервал
должно быть естественным, лучшее
продолжение – четное или нечетное.
Четное продолжение:
Нечетное продолжение:
Пример:
Разложить функцию f(x)=1 на в тригонометрический ряд Фурье продолжив её на нечетным образом.