Квантилі

Квантилем порядку р розподілу випадкової величини будемо називати точку дійсної осі, в якій функція розподілу цієї випадкової величини переходить від менших, ніж р, значень до більших, ніж р. Тобто, , а . Квантилі розподілу будь-якого порядку існують для кожної випадкової величини, однак можуть визначатись неоднозначно. Найчастіше розглядають медіану, квартилі, децилі та процентилі розподілу.

Медіаною розподілу випадкової величини називають квантиль .

Квантилі , — називають квартилями, а квантилі та — відповідно децилями та процентилями розподілу. На рис.5 зображено медіану та квартилі випадкової величини, заданої своєю функцією розподілу.

К вантилі можуть як завгодно точно характеризувати розподіл випадкової величини, якщо взяти їх достатню кількість.

Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі

Випадкова величина Х має розподіл Бернулі з параметром , якщо

хі	0	1
рі	1– р	р

Її математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють:

Розподіл Бернуллі відіграє фундаментальну роль в теорії ймовірностей, оскільки він є моделлю будь-якого випадкового експерименту, виходами якого є дві протилежні події.

Біномний розподіл

Нехай проводиться п випробувань з можливими виходами А або в кожному випробуванні, причому подія А має сталу ймовірність р появи в одній спробі (схема Бернуллі). Позначимо . Тоді ймовірність появи події А k раз в п спробах дорівнює:

. (ІІ.13)

Розподіл випадкової величини Х, яка дорівнює кількості появи події А в п випробуваннях називається біномним розподілом. Випадкову величину Х можна розглядати як суму , де — випадкова величина з розподілом Бернулі, яка характеризує появу події А в і–ому випробуванні. Тому математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення розподіленої за біномним розподілом випадкової величини дорівнюють:

(ІІ.14)

Приклад 10. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Записати розподіл кількості хлопчиків серед 10 новонароджених та знайти його числові характеристики .

Розв’язання: Значення ймовірностей для кожного значення випадкової величини, знаходимо за формулою (ІІ.13). Ввівши команду Maple:

p:=0.52;q:=1-p;seq(binomial(10,i)*p^i*q^(10-i),i=0..10);,

отримаємо шуканий розподіл:

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р	0,0007	0,0070	0,0343	0,0991	0,1878	0,2441	0,2204	0,1364	0,0554	0,0133	0,0015

Г рафічно його можна зобразити таким чином:

Рис. 6.

На основі формул (2.14) отримуємо МХ=5,2, DX=2,496, σX  1,58.

Функцію розподілу даної випадкової величини можна задати у вигляді таблиці:

х	x0	0<x1	1<x2	2<x3	3<x4	4<x5	5<x6	6<x7	7<x8	8<x9	9<x10	x>10
F(x)	0	0,0007	0,0077	0,042	0,1411	0,3289	0,573	0,7934	0,9298	0,9852	0,9985	1

Отже, медіаною розподілу цієї випадкової величини є точка т = _½= 5, а квартилями — точки _¼= 4 та _¾= 6.

Розподіл Пуассона

Випадкова величина Х має розподіл Пуассона з параметром , якщо

. (ІІ.15)

Математичне сподівання, дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини з розподілом Пуассона дорівнюють:

(ІІ.16)

Розподіл Пуассона відповідає схемі Бернуллі з великим п і достатньо малим р, причому , тому цей закон розподілу називають розподілом імовірностей масових рідкісних подій.

Деякі неперервні розподіли

Рівномірний розподіл

Випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку [a; b], якщо щільність її розподілу

(ІІ.17)

Функція розподілу такої випадкової величини описується рівністю

(ІІ.18)

Її математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення відповідно дорівнюють

(ІІ.19)

Експонентний розподіл

Випадкова величина має експонентний розподіл, якщо її щільність розподілу

(ІІ.20)

ЇЇ функція розподілу задається рівністю

(ІІ.21)

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої за експонентним законом дорівнюють:

(ІІ.22)

Вправа. Побудуйте графіки щільностей та функцій рівномірного і експонентного розподілів в пакеті Maple.

Нормальний розподіл

Важливу роль у теорії ймовірностей відіграє нормальний закон розподілу. Назва “нормальний” пояснюється тим, що через поширеність цього закону при описі більшості природніх явищ, він сприймався як норма (стандарт) розподілу будь-якої випадкової величини. Цьому закону підпорядковані більшість числових характеристик властивостей особистості і людських здібностей.

Випадкова величина має номальний розподіл (або розподіл Гауса), якщо щільність її розподілу задається рівністю

. (ІІ.23)

Функція нормального розподілу має вигляд

. (ІІ.24)

Числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють

(ІІ.25)

З алежно від параметра графіки щільності розподілу та функції розподілу мають такий вигляд

Нормальний розподіл з параметрами та називають стандартним нормальним розподілом. Для стандартного нормального розподілу складені таблиці його щільності та функції Лапласа (Див. таблиці 1 і 2 в додатку 1).

В пакеті Excel для обчислення щільності та функції нормального розподілу служать статистичні функції НОРМРАСП і НОРМСТРАСП. Квантилі нормального розподілу можна обчислити, користуючись функціями НОРМОБР та НОРМСТОБР.

Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал визначається за формулою

(ІІ.26)

При використанні формули (ІІ.26) слід пам’ятати, що функція Лапласа Ф(х) є непарною функцією, тобто Ф(– х) =  – Ф(х).

Імовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини від свого математичного сподівання не більше, ніж на ε, обчислюється за формулою

(ІІ.27)

Зокрема, послідовно вибираючи , , , отримуємо:

        (ІІ.28)

Останнє співідношення виражає правило “трьох сігм”, яке полягає в тому, що практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини відхиляються від свого математичного сподівання не більше, ніж на .

Приклад 11. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням а = 10. Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (20; 30), якщо ймовірність її попадання в інтервал (0; 10) дорівнює 0,3.

Розв’язання: Оскільки ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал визначається за формулою (ІІ.26), то . З таблиці значень функції Лапласа визначаємо , звідки . Далі .