Диференційовність функції

Якщо приріст функції f в точці можна представити у вигляді

,

де А — деяка константа, а — нескінченно мала, коли , то функцію f називають диференційовною в цій точці.

Диференціалом функції f в точці називають головну лінійну частину її приросту . Для малих приростів аргумента приріст диференційовної функції практично не відрізняється від її диференціала.

Кожна диференційовна в точці функція є неперервною в цій точці.

Необхідною і достатньою умовою диференційованості функції в точці є інування в цій точці її похідної. Для диференційовної функції справджується рівність . Оскільки , то похідну функції в точці можна записати у вигляді .

Пряма є дотичною до графіка диференційовної в точці функції f у цій точці.

Функція називається диференційовною на інтервалі , якщо вона диференційована в кожній точці цього інтервалу.

Монотонність функції. Екстремуми

Для неперервних на відрізку та диференційовних на інтервалі функцій справджується формула скінчених приростів Лагранжа

,

де — деяка внутрішня точка інтервалу .

Як видно з останньої формули, якщо похідна функції на деякому інтервалі додатна (від’ємна), то функція монотонно зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Точка є точкою локального мінімуму (локального максимуму) функції , якщо існує окіл цієї точки, для кожної точки х якого виконується нерівність . Точки локальних мінімумів та локальних максимумів функції називають точками її локальних екстремумів.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції не існує або існує і дорівнює нулеві, називають критичними точками функції.

Необхідною умовою існування в даній точці локального екстремуму диференційовної функції є рівність нулю її похідної в цій точці. Достатньою умовою існування в даній точці екстремуму функції є зміна знака її похідної при переході через цю точку.

Найбільше та найменше значення неперервної на відрізку функції досягається в її критичних точках або на кінцях відрізка.

Похідні вищих порядків

Якщо похідну функції , диференційованої в точці х, розглядати як функцію цієї точки, то отримаємо функцію . Похідною п-го порядку функції f будемо називати похідну її похідної п – 1 порядку:

.

Якщо функція має похідні до порядку в околі точки , то її приріст у цій точці можна записати за формулою Тейлора

,

де . Формула Тейлора дає змогу замінити знаходження значення достатню кількість раз диференційовної функ­ції обчисленням значення відповідного їй многочлена. Зокрема для

.

Це дає підстави стверджувати, що функція f буде опуклою вниз (графік функції лежить вище від дотичної в точці ), якщо , і опуклою вгору (графік функції лежить нижче від дотичної), якщо .

Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл

Функцію називають первісною до функції на множині Х, якщо на цій множині.

Оскільки , де С­ — довільна стала, то будь-яка функція також є первісною до функції f.

Легко бачити, що будь-які дві первісні функції f відрізняються лише на константу. Справді, якщо і , то за формулою скінчених приростів Лагранжа , і тому . Отже, .

Сукупність всіх первісних функції називають невизначеним інтегралом функції f і позначають . Очевидно .

Невизначений інтеграл має такі властивості.

1. .	4. .
2. .	5. .
3.

Нижче наведено таблицю основних невизначених інтегралів.

Для обчислення невизначеного інтеграла використовують формулу заміни змінної

та формулу інтегрування частинами

.

Розглянемо приклади.

1.

.

2.

.

3. .