Критерій Колмогорова

Критерій Колмогорова застосовують для перевірки узгодженості емпіричного розподілу деякої випадкової величини із заданим неперервним теоретичним розподілом, тобто для перевірки гіпотез:

розподіл ознаки збігається з даним теоретичним;

ознака розподілена за відмінним від заданого законом.

Критерій ґрунтується на зіставленні нагромаджених емпіричних і теоретичних частот (кумулянт). Статистикою виступає величина

,

де — гіпотетична функція розподілу досліджуваної випадкової величини, — емпірична функція розподілу. Критична область — правостороння. Статистика виражає максимальну розбіжність між емпіричною і теоретичною функціями розподілу, що дозволяє оцінити узгодженість розподілів поточково.

Якщо справджується нульова гіпотеза, то для достатньо малих проміжків інтервального варіаційного ряду і для достатньо великого обсягу вибірки статистика D має граничний розподіл, який не залежить від функції F, а саме

,

що дозволяє визначати критичні значення (а відповідно і ) для заданого рівня значущості з наближеного рівняння

.

Зокрема для , а для .

Якщо емпіричне значення статистики , то з надійністю приймається гіпотеза , в іншому випадку приймається альтернативна гіпотеза .

Приклад 23. Чи можна стверджувати, що час, затрачений учнями на розв’язування поставленої задачі (приклад 16), розподілений за логнормальним законом?

Розв’язання: Логнормальний розподіл з параметрами а та задається щільністю

Враховуючи, що для логнормального розподілу математичне сподівання і дисперсія пов’язані з параметрами розподілу рівностями , та оцінки (див. приклад 21), знаходимо значення та .

Висуваємо гіпотези:

спостережувані затрати часу мають логнормальний розподіл з параметрами та ;

розподіл спостережуваних затрат часу відмінний від логнормального.

Об’єм вибірки п = 124. Розбивши додатну піввісь на 11 інтервалів обчислимо емпіричні відносні частоти, значення емпіричної і теоретичної функцій розподілу для верхніх меж проміжків та їх різниці.

інтервал	(0; 25)	[25; 42)	[42; 59)	[59; 76)	[76; 93)	[93; 110)	[110; 127)	[127; 144)	[144;161)	[161;178)	[178; +)
пі	15	38	33	17	9	4	1	4	2	0	1
	0,121	0,306	0,266	0,137	0,073	0,032	0,008	0,032	0,016	0	0,008
	0,121	0,427	0,693	0,831	0,903	0,935	0,944	0,976	0,992	0,992	1
	0,131	0,430	0,671	0,817	0,898	0,943	0,967	0,981	0,988	0,993	1
	0,010	0,003	0,022	0,014	0,005	0,008	0,023	0,005	0,004	0,001	0

Таким чином емпіричне значення і . Оскільки , то на рівні значущості приймаємо гіпотезу , яка стверджує що даний розподіл збігається з логнормальним.