Точкові та інтервальні оцінки

Нехай генеральна сукупність має розподіл з деяким невідомим параметром ξ. Результати експериментів для визначення цього параметра будемо розглядати як незалежні однаково розподілені випадкові величини . Будь-яку функцію результатів експериментів будемо називати статистикою.

Оцінкою статистичної характеристики ξ називається статистика, експериментальна реалізація якої приймається за невідоме значення величини ξ.

Зрозуміло, що не кожна статистика може служити такою оцінкою. Оскільки результати експерименту мають випадковий характер, то будь-яка статистика є випадковою величиною. Для того, щоб статистика могла виступати оцінкою ξ, потрібно, щоб її розподіл був зосереджений достатньо близько до невідомого значення ξ. Тоді при багаторазовому застосуванні такої статистики її середнє значення буде досить доброю оцінкою значення ξ.

Оцінка буде придатною оцінкою параметра ξ, якщо

.

Оцінка буде незміщеною оцінкою параметра ξ, якщо

.

Оцінка буде ефективною оцінкою параметра ξ, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх статистик від .

Практичну цінність мають незміщені, придатні і ефективні оцінки.

Як випливає із закону Бернуллі, незміщеною, придатною точковою оцінкою імовірності події є відносна частота появи цієї події.

Незміщеною, придатною точковою оцінкою математичного сподівання генеральної сукупності за вибіркою є вибіркове середнє — середнє арифметичне елементів вибірки

(або для згрупованої вибірки) (ІІІ.3)

Вибіркова дисперсія (або для згрупованої вибірки) має математичне сподівання , яке не дорівнює дисперсії генеральної сукупності, і тому є зміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності.

Незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності виступає величина

(ІІІ.3)

Однак величина є зміщеною оцінкою середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності.

Приклад 17. За даними прикладу 16 знайти точкові оцінки математичного сподівання дисперсії та середнього квадратичного відхилення генеральної сукупності.

Розв’язання: В табличному процесорі Excel ведемо дані в один стовпчик. Вони заповнять блок А1:А124. Помістивши курсор у чарунку А125 та викликавши функцію =СРЗНАЧ(А1:А124) з групи статистичних функцій, отримаємо в цій чарунці вибіркове середнє , яке є незміщеною оцінкою математичного сподівання генеральної сукупності. Викликавши функцію =СТАНДОТКЛ(А1:А124), отримаємо величину , яка є оцінкою стандартного відхилення генеральної сукупності. Незміщена оцінка дисперсії генеральної сукупності .

Для невеликих за об’ємом вибірок відхилення точкової оцінки параметра від його істинного значення може бути істотним. Тому поряд з точковими оцінками параметрів розподілу генеральної сукупності використовують їх ін­тер­валь­ні оцінки.

Випадковий інтервал, який визначається лише результатами експериментів, не залежить від невідомих характеристик і з заданою ймовірністю α покриває невідому статистичну характеристику ξ, називається вірогідним інтервалом з коефіцієнтом довіри (надійністю) α для цієї характеристики. Величина 1– α називається рівнем значимості відхилення оцінки.

При великій кількості п ( ) експериментів за схемою Бернуллі випадкова величина , де Х — число появ події в серії з п експериментів має розподіл, близький до стандартного нормального. Тому вірогідним інтервалом з надійністю невідомої ймовірності р є інтервал

, (ІІІ.4)

де — відносна частота появи події, а t — розв’язок рівняння (в Excel знаходять як значення функції НОРМСТОБР в точці ).

Вірогідним інтервалом математичного сподівання т (з надійністю ) при відомій дисперсії є інтервал

, (ІІІ.5)

де — вибіркове середнє, п — об’єм вибірки, а t — розв’язок рівняння . Величину можна обчислити як значення функції ДОВЕРИТ(1–α; σ; п) в Excel.

Вірогідним інтервалом математичного сподівання т (з надійністю ) при невідомій дисперсії є інтервал

, (ІІІ.6)

де п — об’єм вибірки, — вибіркове середнє, s — незміщена оцінка стандартного відхилення, — квантиль порядку розподілу Стьюдента з п–1 ступенем вільності (в Excel знаходять як значення функції СТЬЮДРАСПОБР з аргументами та п–1).

Вірогідним інтервалом стандартного відхилення σ (з надійністю ) нормально розподіленої ознаки є інтервал

, (ІІІ.7)

де s — незміщена оцінка стандартного відхилення вибірки об’ємом п, а q — розв’язок рівняння . Тут — щільність розподілу з п–1 степенем вільності, , якщо , інакше — (в Excel q знаходять як значення виразу КОРЕНЬ((n–1)/ХИ2ОБР(α; n–1)) –1 ).