Темы практических заданий

1. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

2. Решение задачи Коши и задачи Гурса для уравнений гиперболического типа методом характеристик.

3. Решение задач для неограниченной и полуограниченной струны.

4. Метод разделения переменных.

Литература

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М., Наука, 1971г.

2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции, М., 1984г.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики, М., Наука, 1971г.

4. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под редакцией Владимирова В.С., М., Наука,1982г.

Вопросы по теории

1. Формула Даламбера. (2007)

2. Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности. (2005, 2007)

3. Функция Грина задачи Дирихле. (2006)

4. Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. (2005, 2006)

Задачи

Уровень 1

1. Привести уравнение к каноническому виду:

2. Привести уравнение к каноническому виду:

3. Привести уравнение к каноническому виду:

4. Решить задачу Коши:

5. Решить задачу Коши:

6. Решить задачу Коши:

7. Решить задачу о колебаниях струны с закрепленными концами, если в начальном положении струна находится в покое , а начальная скорость задается формулой: .

8. Решить смешанную задачу:

9. Найти решение задачи Гурса:

10. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на интервале и имеющим форму ломаной с вершинами в точках . Построить профиль струны для моментов времени . Найти: 1) формулы, описывающие профиль струны в момент времени ; 2) формулы, представляющие закон движения точки струны с координатой .

Уровень 2

1. Решить задачу Коши:

2. Решить задачу Коши:

3. Найти решение задачи Гурса:

4. Решить смешанную задачу:

5. Решить смешанную задачу:

6. Решить смешанную задачу:

7. Решить смешанную задачу:

8. Решить смешанную задачу:

9. Полуограниченная струна, закрепленная на конце , возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на интервале и имеющим форму ломаной с вершинами в точках . Построить профиль струны в моменты времени . Расписать формулы, описывающие профиль струны в момент времени .

10. Полуограниченной струне со свободным концом сообщена начальная скорость равная на отрезке и нулю вне этого отрезка. Построить профиль струны в моменты времени . Расписать формулы, представляющие закон движения точки .

11. Вариационное исчисление и методы оптимизации (Сумин м.И.)

Отделимость выпуклых множеств. Теоремы отделимости. Принцип Лагранжа в гладких задачах на экстремум с ограничениями типа равенства и неравенства. Существование решения в задачах математического программирования. Принцип Лагранжа в задачах выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Двойственность в задачах математического программирования. Основные свойства. Основная теорема двойственности. Теорема Куна-Таккера в форме двойственности. Понятие седловой точки. Теорема Куна-Таккера в форме утверждения о седловой точке. Линейное программирование. Принцип Лагранжа. Двойственность. Простейшая задача вариационного исчисления. Классификация экстремумов. Уравнение Эйлера. Экстремали. Обобщение простейшей задачи вариационного исчисления: задача с подвижными концами, многомерный случай, случай наличия старших производных, случай кратного интеграла. Изопериметрическая задача. Принцип Лагранжа. Необходимое и достаточное условие слабого локального экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления.