Темы практических заданий Литература

Вопросы по теории

Задачи

Уровень 1

Уровень 2

9. Теория функций комплексного переменного

Функция комплексного переменного, геометрическая интерпретация. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Критерий дифференцируемости функции в точке (функция задана в области). Связь между аналитическими и гармоническими функциями. Элементарные функции комплексного переменного (показательная, логарифмическая, общая степенная, тригонометрическая, гиперболическая и их представление степенными рядами). Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Первая теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций. Применение к степенным рядам. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Теорема Сохоцкого (без доказательства). Вычет функции в точке. Основная теорема о вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

Темы практических заданий

Литература

Вопросы по теории (Солдатов М.А.)

1. Доказать критерий дифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера.(2004)

2. Доказать теоремы о связи функций аналитических и гармонических.(2004, 2008)

3. Доказать интегральную формулу Коши для аналитических функций. (2006)

4. Доказать первую теорему Вейерштрасса о рядах аналитических функций (аналитичность суммы и почленное дифференцирование). (2006)

5. Доказать теорему Тейлора о разложении аналитической функции в степенной ряд. (2007)

6. Доказать теорему о разложении аналитической функции в ряд Лорана. (2007, 2008)

7. Теорема о связи между нулем и полюсом аналитической функции. Следствие о существовании особой точки.

8. Два определения вычета регулярной функции и вычисление его в полюсе.

Задачи

Уровень 1

1. Вычислить с помощью вычетов .(2005)

2. Найти с помощью вычетов .(2005, 2006)

3. Вычислить .(2007)

4. Определить тип изолированных особых точек функции и найти вычеты в них. (2005, 2006)

5. Найти .(2007)

6. Найти аналитическую функцию , если .(2005)

7. Разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечности функцию . Где он сходится? (2006)

Уровень 2

1. Вычислить .

2. Найти .

3. Вычислить .

4. Найти с помощью вычетов .

5. Определить тип особых точек функции и найти вычеты в них.

6. Найти аналитическую функцию , если . Результат представить как функцию от .

7. Функцию разложить в ряд Лорана в кольце .(2007)

10. Уравнения с частными производными (Калинин а.В.)

Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типов. Постановка задач. Начальная задача для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Начальная задача для трехмерного волнового уравнения. Формула Пуассона. Реализация метода разделения переменных на примерах начально-краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Решение задачи Дирихле методом функции Грина.