3. Алгебра и теория чисел

Комплексные числа. Корни из единицы. Кольцо многочленов и кольцо целых чисел ( теория делимости: деления с остатком, алгоритм Евклида, НОД и НОК, критерий взаимной простоты, простые элементы, факториальность). Корни многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Кратность корня. Основная теорема алгебры. Многочлены неприводимые над R и C. Алгоритм Штурма. Поле частных кольца многочленов. Разложение дроби на простейшие. Основная теорема о симметрических многочленах. Результант и дискриминант. Теория чисел. Теорема Эйлера и малая теорема Ферма. Кольцо вычетов по модулю m. Сравнения первой степени с одним неизвестным и неопределенные уравнения. Разложение чисел в цепные дроби. Наилучшие приближения. Квадратичные вычеты и символ Лежандра. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы. Теория определителей (свойства, теорема Лапласа). Алгебра матриц (действия над матрицами, миноры и алгебраические дополнения, обратная матрица, теорема об определителе произведения матриц). Линейное пространство (линейная зависимость, размерность, базис, подпространство). Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Общая теория систем линейных уравнений. Правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли, связь решений неоднородной и приведенной однородной системы, фундаментальная система решений. Группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Факторгруппа. Основные теоремы о гомоморфизмах. Действие группы на множестве (орбиты, стабилизаторы, формула длины орбиты). Теоремы Силова. Задание группы образующими и определяющими соотношениями. Строение конечно порожденных абелевых групп. Кольца и поля. Идеалы, факторкольцо, теоремы о гомоморфизмах колец. Характеристика поля. Конечные подгруппы мультипликативной группы поля.

Темы практических заданий Литература

Вопросы по теории

Задачи

Уровень 1

1. Исследуйте совместность и найдите общее решение и одно частное решение

2. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений.

3. Вычислить определитель:

4. Вычислить: а) в) .

5. Определить кратность многочлена : .

6. Решить уравнение

7. Разделите с остатком на и вычислите (пользуясь схемой Горнера)

.

8. Разложите рациональное число в цепную дробь .

9. Разложите в периодическую цепную дробь и вычислите с точностью до квадратичную иррациональность:

10. Решите сравнение: .

11. Решите в целых числах неопределенное уравнение: .

12. При помощи символа Лежандра выясните разрешимо сравнение или нет: .

13. Найдите порядок элемента

14. Сколько элементов порядка 6 содержится в группе ; ?

15. Найти классы сопряженных элементов группы .

Уровень 2

1. Решить матричное уравнение:

2. Отделить кратные множители и разложить на неприводимые множители над

3. Вычислить:

4. Вычислить определитель:

5. Исследовать систему и найти общее решение и одно частное решение

6. Найти наибольший общий делитель и :

,

.

7. Найти квадратичную иррациональность, которая разлагается в следующую периодическую цепную дробь: .

8. Найти первые три элемента в разложении в цепную дробь.

9. Решить систему сравнений:

10. Решить сравнение: .

11. Найти остаток от деления 1976¹⁹⁷⁶ на 9

12. Найти все подгруппы в Z₁₀ (циклической группе порядка 10).

13. В циклической группе порядка 24 найти все элементы , такие что и все элементы порядка 6.

14. Найти факторгруппу 4Z / 12Z.

15. Найти все орбиты и стабилизаторы группы G, порождённой подстановкой

и действующей на множестве M = {1,2,…,10}.