4. Линейная алгебра

Векторное пространство. Базис, размерность. Подпространства и операции над ними. Замена базиса и пересчет координат. Линейные отображения векторных пространств и их матрицы. Собственные числа и собственные вектора линейного оператора. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Процесс ортогонализации. Самосопряженные операторы. Канонический вид матрицы самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм. Жорданова матрица. Приведение числовой матрицы к жордановой форме. Ортогональные операторы и их свойства. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.

Темы практических заданий Литература

Вопросы по теории (Баландин А.В.)

1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

2. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств.

3. Теорема о размерности ядра и образа линейного оператора.

4. Ортогональные операторы и их свойства.

Задачи

Уровень 1

1. Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .

2. Найти жорданову форму матрицы .

3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

4. Найти матрицу линейного оператора , если .

5. Проверить является ли сумма прямой, если , , , , .

6. Привести к главным осям квадратичную форму , не находя самого преобразования.

7. Ортогонализировать систему векторов .

8. Задать системой линейных уравнений линейную оболочку системы векторов , .

9. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

10. Найти ортонормированный базис из собственных векторов для линейного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей .

11. Систему векторов арифметического пространства со стандартным скалярным произведением доролнить до ортонормированного базиса.

Уровень 2

1. Найти базис в сумме и пересечении подпространств и , если , .

2. Привести квадратичную форму к главным осям, т.е. найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

3. Найти минимальный многочлен матрицы .

4. Найти жорданову форму матрицы .

5. Выяснить, подобны ли матрицы и .

6. (ЛУЧШЕ НЕ ДАВАТЬ) Найти базис двумерного подпространства, инвариантного относительно ортогонального оператора, заданного в ортонормированном базисе матрицей

7. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство

8. Пусть – ортонормированный базис и линейный оператор в базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряженного оператора в базисе .

9. Найти базис образа и ядра линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей .

10. Не находя линейного преобразования, найти канонический вид следующей пары квадратичных форм:

.

11. Найти ортонормированный базис в ортогональном дополнении к подпространству

5. Аналитическая геометрия (Небукина г.Ф.)

Свободные векторы, линейные операции над ними. Линейная зависимость векторов, геометрический смысл. Базис, координаты вектора в данном базисе. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Аффинная и прямоугольная системы координат, преобразования: параллельный перенос и поворот осей координат.

Прямая линия на плоскости, различные виды ее уравнений. Пучок прямых на плоскости. Плоскость, различные виды ее уравнений. Взаимное расположение двух плоскостей. Пучок плоскостей и связка плоскостей. Прямая линия в пространстве, ее уравнения. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Кривые второго порядка, канонические уравнения. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Касательные к кривым второго порядка, оптические свойства. Кривые второго порядка как конические сечения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Поверхности второго порядка, канонические уравнения. Поверхности вращения. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Аффинные преобразования плоскости, примеры. Группа аффинных преобразований, инварианты. Теорема об аффинной классификации кривых второго порядка.