7. Дифференциальная геометрия

Гладкие кривые. Кривизна и кручение гладкой кривой и их геометрический смысл, формулы для их вычисления. Формулы Френе.

Гладкие поверхности. Неявное и параметрическое задание поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее применение. Вторая квадратичная форма поверхности. Расположение поверхности относительно касательной плоскости. Теорема Менье о кривизне кривой на поверхности. Асимптотические линии. Теорема о нахождении главных направлений и линий кривизны, Гауссова и средняя кривизны поверхности. Тензорные поля на поверхности. Абсолютный дифференциал и параллельный перенос векторного поля вдоль кривой. Геодезические линии и их свойства. Геодезические на поверхностях вращения. Теорема Гаусса-Бонне. Сумма углов геодезического треугольника на поверхностях постоянной кривизны.

Дифференцируемые многообразия класса C^r, r  1. Касательное векторное пространство. Дифференцируемые отображения многообразий. Дифференциал отображения. Ориентируемость и ориентация многообразия с краем. Теорема о разбиении единицы. Произведение многообразий.

Анализ на многообразии. Алгебра внешних форм в Rⁿ . Внешние формы на многообразии. Внешний дифференциал. Интеграл от внешней формы. Теорема Стокса на многообразии с краем. Классические теоремы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса, формула Ньютона-Лейбница - как следствия общей теоремы Стокса. Когомологии Де Рама.

Римановы многообразия. Линейные связности и их коэффициенты. Риманова связность. Параллельные перенесения векторов. Геодезические линии. Римановы многообразия как метрические пространства. Геодезическая и метрическая полнота Риманова многообразия. Теорем Хопфа-Ринова.

Темы практических заданий Литература

Вопросы по теории

1. Геодезические линии поверхности и их свойства

2. Первая квадратичная форма поверхности и ее свойства

Задачи

2009 (Жукова н.И.)

1. Найти кривизну и кручение кривой x =e^t ; y =e^-t ; z = t в произвольной точке. (2007)

2. Выяснить, является ли данная кривая 1) плоской; 2) частью прямой линии, если x=3t–t³ ; y= 3t² ; z=3t+t³.

3. Найти все значения параметров a и b, при которых во всех своих точках кривая x = a·cht, y = a·sht, z = bt имеет равные кривизну и кручение.

4. Найти такую функцию f(t), отличную от константы, чтобы кривая x=a·cos t, y=a·sin t, z=f(t) была плоской.

5. Вычислить среднюю и гауссову кривизны поверхности x = u² + v², y = u² – v², z = uv в точке P( u = 1; v = 1). (2007)

6. Найти главные кривизны прямого геликоида в произвольной точке , где k = const. (2007)

7. Найти линии кривизны параболоида , где p и q – положительные постоянные.

8. Найти асимптотические линии развертывающегося геликоида

9. Составить натуральные уравнения кривой x = ct, y = c ln t, z = ct–1, где c = const.

10. Найти геодезическую кривизну окружности радиуса r, лежащей на сфере радиуса R, где 0<r<R.

8. Функциональный анализ

Измеримые функции действительного переменного. Сходимости в среднем, почти всюду, по мере, связь между ними. Интеграл Лебега от ограниченной функции действительного переменного. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Метрические пространства. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Арцела-Асколи. Принцип сжимающих отображений. Применения. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства. Линейный оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Норма линейного ограниченного оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Спектр линейного ограниченного оператора.