Темы практических заданий Литература
Вопросы по теории
Смешанное произведение векторов, геометрический смысл. Смешанное произведение векторов, заданных координатами.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Касательная к эллипсу, оптическое свойство.
Поверхности вращения, особенность их уравнений. Примеры поверхностей второго порядка.
Задачи
Уровень 1
Вычислить
,
если
.Найти расстояние от точки А(2,-1,3) до прямой
.Найти проекцию прямой
на плоскость
.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3,-2,-4), параллельной плоскости
и пересекающей прямую
.(2008)Директрисы гиперболы делят расстояние между ее фокусами в отношении 1:3:1. Найти эксцентриситет гиперболы. (2008)
Эллипс, имеющий фокусы в точках F1(-3,0) и F2(3,0), касается прямой
.
Найти его уравнение.
(2008)
Уровень 2
Даны векторы
и
.
Найти единичный вектор
,
ортогональный
,
образующий с
угол
и направленный так, что тройка
,
,
– правая.Даны две соседние вершины квадрата А(-1,2) и В(2,4). Составить уравнения всех его сторон.
Найти расстояние между прямыми
и
.Составить уравнение гиперболы, зная ее асимптоты
и одну из касательных
.Найти центр и радиус окружности
.Найти уравнения прямолинейных образующих поверхности
,
проходящих через точку А(2,3,0).
Топология
Общая топология. Определение топологического пространства. Критерий базы на множестве и в пространстве. Метрическая топология. Примеры. Классификация точек относительно подмножества. Свойства замыкания, внутренности и границы множества. Всюду плотные подмножества. Индуцированная топология. Непрерывные отображения и их свойства. Аксиомы отделимости, примеры. Предел последовательности в топологическом пространстве. Теоремы о компактных пространствах. Связность и линейная связность топологических пространств. Произведение топологических пространств. Теорема о перенесении свойств сомножителей на произведение. Фактор-топология. Первая и вторая теорема счетности и связь между ними.
Алгебраическая топология. Гомотопии. Гомотопические группы, зависимость от начальной точки. Гомоморфизмы гомотопических групп, индуцированные непрерывными отображениями. Гомотопическая эквивалентность топологических пространств, стягиваемые пространства. Гомотопическая инвариантность топологических групп. Гомотопические группы произведений. Расслоения Серра. Гомотопическая последовательность расслоения Серра. Клеточные пространства. Клеточные разбиения сфер, шаров и проективных пространств. Фундаментальная группа клеточного пространства. Эйлерова характеристика. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Топологические многообразия. Инвариантность размерности топологического многообразия. Инвариантность края и внутренности многообразия с краем. Классификация одномерных и двумерных компактных многообразий.
Темы практических заданий Литература
Вопросы по теории
Задачи
Уровень 1
Уровень 2