- •Вопрос22 Различные виды уравнений прямой в пространстве (параметрические, канонические, через 2 точки, общие) Направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями.
- •Вопрос23 Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение 2х прямых в пространстве.
- •Вопрос 24 поверхности второго порядка (эллипсоид, цилиндры, конус) и их канонически уравнения. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.
- •Вопрос25 поверхности второго порядка (гиперболоиды, параболоиды) и их канонические уравнения.
- •Вопрос26 Параллельный сдвиг и поворот декартовой системы координат на плоскости. Формулы перехода от старых к новым и наоборот.
- •Вопрос27 Полярная и декартова системы координат на плоскости. Связь между полярными и декартовым системами координат. Цилиндрические и сферические системы координат на плоскости.
- •Вопрос30. Предикат. Множество истинности предиката. Кванторы общности существования. Виды формулировок теорем (прямая и обратная теоремы, теорема о необходимых и достаточных условиях).
- •Вопрос32 Функция. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Композиция функций. Элементарные функции.
- •Вопрос34. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности (конечный и бесконечный). Геометрическая иллюстрация. Теорема о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.
- •Вопрос36. Бесконечно малые функции и их свойства. Как и бесконечно большие. Связь между ними. Бесконечный предел функции в точке и на бесконечности.
- •Вопрос37. Первый и второй замечательный пределы и следствия из них.
- •Вопрос38. Сравнение бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых. И их таблица.
- •Вопрос39. Односторонние пределы в точке. Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного двух функций. Н епрерывность элементарной функции.
- •Вопрос40. Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса) Точка разрыва функции. Классификация точек разрыва функции.
Вопрос34. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности (конечный и бесконечный). Геометрическая иллюстрация. Теорема о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.
Последовательность — этопздц(набор) элементов некоторого множества:
для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
Определение
Пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.
Всякое отображение из множества натуральных чисел в заданное множество X называется последовательностью (элементов множества X).
Образ натурального числа n, а именно, элемент xn = f(n), называется n-ымчленом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.
Предел числовой последовательности— это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.
Определение
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Вопрос36. Бесконечно малые функции и их свойства. Как и бесконечно большие. Связь между ними. Бесконечный предел функции в точке и на бесконечности.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая ф ункция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Вопрос37. Первый и второй замечательный пределы и следствия из них.
Замеча́тельныепреде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Следствия
Следствия
для ,