Вопрос27 Полярная и декартова системы координат на плоскости. Связь между полярными и декартовым системами координат. Цилиндрические и сферические системы координат на плоскости.
Полярные координаты (рис. 4.3)
Полярная
система координат —
двумерная система координат, в которой
каждая точка на плоскости определяется
двумя числами — полярным углом и
полярным радиусом. Полярная система
координат задаётся лучом, который
называют нулевым или полярной осью.
Точка, из которой выходит этот луч
называется началом координат или
полюсом. Любая точка на плоскости
определяется двумя полярными координатами:
радиальной и угловой. Радиальная
координата (обычно обозначается r)
соответствует расстоянию от точки до
начала координат. Угловая координата,
также называется полярным углом или
азимутом
и обозначается
,
равна углу, на который нужно повернуть
против часовой стрелки полярную ось
для того, чтобы попасть в эту точку.[1]
Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.
Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные
Выражение
полярных координат через декартовы
прямоугольные
Цилиндрические координаты (рис. 4.6)
Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.
Точка
P
даётся как
.
В терминах прямоугольной
системы координат:
—
расстояние
от O
до P',
ортогональной проекции точки P
на плоскость XY.
Или то же самое, что расстояние от P
до оси Z.
—
угол
между осью X
и отрезком OP'.
z равна аппликате точки P.
Сферические координаты (рис. 4.7)
Сферическими
координатами
называют систему координат для
отображения геометрических свойств
фигуры в трёх измерениях посредством
задания трёх координат
,
где r —
расстояние до начала
координат,
а θ
и
—
зенитный и азимутальный угол
соответственно.
Три координаты определены как:
—
расстояние
от начала координат до заданной точки
P.
—
угол
между осью Z
и отрезком, соединяющим начало координат
и точку P.
—
угол
между осью X
и проекцией отрезка, соединяющего
начало координат с точкой P,
на плоскость XY
(в Америке углы θ
и
меняются
ролями).
Угол
θ
называется зенитным,
или полярным,
или нормальным,
а также он может быть назван английским
словом colatitude,
а угол
—
азимутальным.
Углы θ
и
не
имеют значения при r
= 0, а
не
имеет значения при sin(θ)
= 0 (то есть при
θ = 0
или
).
Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами
или 
Вопрос28 Множество. Способы задания и примеры числовых множеств. Точные верхняя и нижняя граница множеств. Счетные и несчетные множества. Подмножество. Объединение, пересечение и разность двух множеств. Декартово произведение множеств.
Бертран Расселл:«Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.
Определения
МножествоA
является подмножеством множества B,
если любой элемент,
принадлежащий A,
также принадлежит B.
Пишут:
или
.
Таким образом,
Множество
B
в таком случае называется надмно́жеством
множества A,
и этот факт часто записывают:
или
Объединение множеств
(коммутативность),
(идемпотентность),
(ассоциативность),
Пересечение множеств
(коммутативность),
(идемпотентность),
(ассоциативность),
(дистрибутивность),
Разность множеств
Декартово (прямое) произведение множеств
Вопрос29 Высказывание. Значение истинности высказывания. Отрицание. Коъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквиваленция высказываний. Логическая формула, таблица истинности для формулы. Свойства операций над высказываниями.
Высказывание - повествовательное предложение, о котором можно говорить истинно оно или ложно.
Отрица́ние в логике — унарная операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой над суждением. Синоним: логическое "НЕ".
Конъю́нкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Синонимы: логи́ческое "И", логи́ческоеумноже́ние, иногда просто "И".
Дизъю́нкция — (лат. disjunctio - разобщение) логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ», включа́ющее «ИЛИ», логи́ческоесложе́ние, иногда просто «ИЛИ».
Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».
Импликация
записывается как посылка
следствие;
применяются также стрелки другой формы
и направленные в другую сторону (остриё
всегда указывает на следствие).
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
Эквивале́нция (или эквивале́нтность[1]) — двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔. Задаётся следующей таблицей истинности:
Основные равносильности Закон двойного отрицания
Идемпотентность
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Законы де Моргана
