18.Гипербола. Канонические уравнения гипербол. Геометрические свойства и построение гиперболы. Специальные термины

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

 причем | F₁F₂ | > 2a > 0.

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

.

.

.

.

.

.

.

.

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,где большая a и малая b полуоси.

Связанные определения

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы,C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂.Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее: a — расстояние от центра C до каждой из вершин b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на ассимптоты c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ иF₂, θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами.

Свойства

• Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.

• Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

• Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

19. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Геометрические свойства и построение параболы. Специальные термины.

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемойдиректрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

 (или  , если поменять местами оси).

Свойства

• 1Парабола — кривая второго порядка.

• 2Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

• 3Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

• 4Для параболы   фокус находится в точке (0,25; 0).

Для параболы   фокус находится в точке (0; f).

• 5Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

• 6Парабола является антиподерой прямой.

• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

• 7При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

директриса параболы

фокальный радиус

 

20.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, частный случай общего уравнения плоскости. Векторное уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей.

  Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

 Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору     В векторном виде

  В координатах

     Угол между плоскостями 

   Частные случаи общего уравнения плоскости:

     1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.

Общее уравнение плоскости:

 

Ах +  Ву +  Сz +  D = 0 ,

 где  А, B и C  не равны нулю одновременно. Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости ( т.е. вектора, перпендикулярного плоскости ). При  А   0,  В   0,  С   0 и D   0  получаем  уравнение плоскости в отрезках на осях:

где  a = – D / A ,   b = – D / B,   c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки ( a, 0, 0 ), ( 0, b, 0 )  и  ( 0, 0, с ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной  a,  b  и  c .

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку ( х₀ ,  у ₀ ,  z ₀ ) и перпендикулярной вектору ( А, В, C ) :

 

А ( х – х₀ ) + В ( у – у ₀ ) + С ( z – z ₀ ) = 0 .

 

Условие параллельности плоскостей  Ах+ Ву+ Сz+ D = 0  и  Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

 

AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0 .

 

Условие перпендикулярности плоскостей  Ах+ Ву+ Сz+ D = 0  и  Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

 

АE+ ВF+ СG = 0 .

 

Расстояние между двумя точками ( х₁ ,  у ₁ ,  z ₁ )  и ( x₂ ,  y₂ ,  z₂) :

 

 

Расстояние от точки  ( х₀ ,  у ₀ ,  z ₀ )  до плоскости  Ах + Ву + Сz + D = 0 :

Угол    между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0: