3. Обратная матрица.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Усл. существования:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Формула для нахождения

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

а)С помощью матрицы алгебраических дополнений

C^T — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений(минор умножаем на (-1) в степени места которое он занимает) элементов исходной матрицы.

4. Система линейных уравнений. Решение системы. Совместность и несовместность системы. Матричный способ решения системы n линейных уравнений с n переменными. Теорема Краммера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Прямые методы

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁,b₂,...,b_n и x₁,x₂,...,x_n, либо набор c₁,c₂,...,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.

5.Минор k-того порядка. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема Кронекера-Капелли об условиях совместимости системы линейных уравнений. Метод исключения переменных (Гаусса) для системы линейных уравнений.

Минор  матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами   и столбцов с номерами  .

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число ненулевых строк (столбцов).

Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений) -

система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы (со свободными членами), причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

6. Направленный отрезок и вектор. Начальные понятия векторной алгебры. Сумма векторов и произведение вектора на число. Условие координированности векторов. Свойства линейных операций над векторами.

Операции над векторами

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить по разному, в зависимости от ситуации и типа расматриваемых векторов:

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов   и   по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов   и   по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы   определяют по теореме косинусов   где   — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула   теперь   — угол между векторами выходящими из одной точки.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор  , удовлетворяющий следующим требованиям:

Свойства вектора С

• длина вектора   равна произведению длин векторов   и   на синус угла φ между ними

• вектор   ортогонален каждому из векторов   и 

• направление вектора С определяется по правилу Буравчика

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е 

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть 

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством: 

7.Базис и система координат на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Ортонормированный базис и прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Координаты вектора и точки на плоскости и в пространстве. Проекции вектора на оси координат.

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Представление какого-то конкретного (любого) вектора  пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

или

или, употребляя знак суммы Σ:

называется разложением этого вектора по этому базису.

Координаты вектора и точки на плоскости и в пространстве.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

Тогда проекцией вектора  AB на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора   на эту ось.