51.Правило Лапиталя

Раскрытие неопределённости( )

1.f(x),g(x) определены и диф-мы в окрестности т.а за искл МБ самой т.а,причём g’(х)≠0

2. = =0

3. сущ-ет,тогда.

Док-во:Пусть а-конечное число,то определим знач ф-ий f(x),g(x) в т.а,а именно f(а),g(а)=0,это позволяет сделать 2усл т.

Т.х из окрестности т.а такую, что на выполняются все усл теоремы,тогда сущ-ет т.Ѯ (а,х), такая что собл усл т.Коши

= ; = ; х→а при этом Ѯ→а,тогда

= =А, аналогично берём промежуток на котором вып-ся все усл теоремы, тогда сущ-ет Ѯ (х,а) такая что = ; =А,отсуда можем утв, что =

Утв теор выполняется если а- не собственное число

Аналогично раскрывается неопр ( )

Пр1 =( )= =1

Пр2. =( )= =( )=

(0 свести к стандартным

Пр1. =(0 = =( )= = =0

Пр2. = = =( )= =

Пр3. = = = =- =( ) = =0

52Формула Тейлора

f(x)беск число раз диф-ма в окрестности т ,то для любого числа х этой окрестности и любого нат числа справедлива ф.Тейлора:f(x)=f( )+ (x- )+ +…+ +o( )

если ,то получим фМаклорена: f(x)=f(0)+ x+ +…+ +o( )

1. +

2. +o( )

3. +o( )

4. +o( )

5. =1+ x+ +…+ +o(

6. =1+x+ +o(

7. =1-x+ +o(

Разложения 6,7 получаются из разл 5 при

53.Условия монотонности функции

Теор.Условия монотонности функции

f: (a,b)→𝑅 диф-ма на

УтвА.Если >0 на (а,в) то возр на (а,в)

УтвБ.Если <0 на (а,в) то убыв на (а,в)

УтвВ.Если ≡0 на (а,в) то -постоянная ф-я

Док-во:

Пусть любые 2 точки (а,в) причем

На непрерывна и диф-ма прим ф.Лагранжа, то сущ-ет т.Ѯ ( ) f( =

Если >0, >0, f(

Если >0, <0,тогда f(

Если ≡0, =0,тогда f(

54Экстремумы функции

Опр1.Пусть задана f: (a,b)→𝑅

УтвА.Будем говорить,что имеет локальный максимум в т. (а,в) если сущ-ет такая -окрестность т. , что для всех х≠ из этой окрестности,то вып f(

(

УтвБ. Будем говорить,что имеет локальный минимум в т. (а,в) если ( Локальные макс и мин объединяются под общим назв экстремум

Опр2. Пусть задана f: (a,b)→𝑅 если в (а,в)выполн усл ,то наз стационарной.

Если в или не сущ-ет, то т наз критической

Теор:Необходимое усл экстремума.

Пусть задана f: (a,b)→𝑅 если t(x) имеет в т. (а,в)локальный макс или лок минимум,то критическая т.

Док-во

1)Пусть в т. сущ-ет .Предположим для определённости,что в т. ф имеет локальный макс → (

Если х< то >0; =

Если х> то <0; =

Т.о и 

2)Пр. и

1-лок макс;0-лок мин;0-крит т.

Теор:1достаточное усл экстремума

Пусть f: (a,b)→𝑅удовл усл:

1. непрерывна на (а,в)

2. (х) сущ-ет всюду на (а,в) за искл МБ т. ,тогда 1)если (х)>0 при х< и (х)<0 при х> то -т. макс

2) если (х)<0 при х< и (х)>0 при х> то -т.min

Т.о если при переходе через т. слева на право производная меняет знак с + на -, то -т. макс, а если с – на + то -т.min

Теор: 2достаточное усл экстремума

Пусть для f: (a,b)→𝑅 в т. (а,в) , ≠0, тогда при ≠0 в т ф имеет макс, а при ≠0 в т имеет min

55.Выпуклые и вогнутые кривые

Опр1.Непрерывная кривая у= наз выпуклой вверх(вниз) на если любая дуга этой кривой,соед т. такие, что а лежат выше(ниже) стягивающей её хорды

Опр2.Кривая у= наз гладкой на если её задание имеет непрерывную на (а,в) производную (х)

Геом:нигде нет угловых точек

Теор:1усл выпуклости функции: у=

1)Выпуклая вниз на если её произв (х) возр на

2)Выпуклая вверх на если её произв (х) убыв на

Теор:2усл выпуклости функции

Пусть для f: [a,b]→𝑅 всюду на (а,в) сущ-ет ,тогда кривая у= выпуклая вниз на [a,b] если всюду и выпуклая вверх на [a,b] если всюду

Док-во

Если >0 на (а,в) то возраст,тогда по т.1 у= выпуклая вниз на [а,в]. Если <0 на (а,в) то убыв ,тогда по т.1 у= выпуклая вверх на [а,в]

Опр3 т.М( ; ) наз т.перегиба кривой у= если она отделяет участок выпуклости вверх от уч.выпуклости вниз

Теор.Необх. и достаточное усл для т.перегиба

Пусть для f: [a,b]→𝑅 сущ-ет для того чтобы т. была т.перегиба кривой у=

А)необх: =0

Б)при переходе через меняла знак

Зам:гладкую кривую наз вогнутой вверх(вниз) на [а,в]если она лежит выше(ниже) любой касательной,проведённой в т. с абсциссами х (а,в)