- •1.Правило Крамера для системы 2х линейных уравнений.
- •2.Определители
- •4.Вычисление определителя, приведение к треугольному виду.
- •5.Вычисление определителя методом Лапласа.
- •1.∆≠0 То система (*) имеет 1решение,которое находится по формулам:
- •15Координаты вектора
- •16Декартова прямоугольная система координат.
- •17.Сколярное произведение векторов.
- •18.Векторное произведение векторов.
- •19.Смешенное произведение векторов.
- •21.Общее ур-е прямой, нормальный вектор прямой,взаимное расположение 2х прямых.
- •23.Плоскости
- •24Нормальное ур-е плоскости
- •25.Множества, Понятие функций.
- •26.Абсолютная величина действительного числа
- •27.Основные понятия действительных чисел
- •28.Верхние и нижние границы числовых множеств.
- •29.Понятие функций и гр функций.
- •Предел последовательности
- •31.Символика
- •32.Понятие последовательности и её пределы.
- •34.Бесконечно малые и бесконечно большие послед-ти.
- •35.Монотонные послед-ти
- •Предел и непрерывность функций
- •36.Определение предела функций
- •37.Арифметические операции с пределами функций
- •38.Односторонние пределы
- •39.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •40.Непрерывность функции
- •41.Односторонняя непрерывность
- •42.Точки разрыва
- •Дифференцирование одного переменного
- •44.Определение производных
- •45.Геометрический смысл производной
- •46.Дифференцирование функций
- •47Дифференциал.
- •48Дифференциалы высших порядков
- •49.Дифференцирование ф-ции заданной параметрически.
- •50.Основные теоремы диф-ого исчисления
- •51.Правило Лапиталя
- •52Формула Тейлора
- •53.Условия монотонности функции
- •54Экстремумы функции
- •55.Выпуклые и вогнутые кривые
- •56.Асимптоты гр функции
46.Дифференцирование функций
Опр1. f: (a,b)→𝑅 наз дифференцированной в т. если её приращение в этой т. можно представить в виде (А=const действ переменного от ∆х) ∆f( )=А∆х+
→0,∆х→0
f: (a,b)→𝑅 наз дифференцированной на (а,в) если она диф в каждой т этого мн-ва
Теор:Условия диф функций одного переменного
Для того,чтобы f: (a,b)→𝑅 наз диф в т. необх и достаточно чтоб она имела в этой т.конечную произв
Док-во:1)Необходимость
диф в т. это значит: ∆f( )=А∆х+ А=const, →0,∆х→0
∆f( )=А+ А= =
2)Достаточность
Пусть в сущ-ет ,т.е ,тогда можно зап: - = ,где →0,∆х→0│*∆х(груп слаг)
∆f( )= + диф в т.
Теор: непрерывность диф функции
47Дифференциал.
Пусть ф y=f(x) определена на промежутке Х и диф в некоторой окрестности х Х.Тогда сущ-ет коенчная произв =
На осн т. о связе беск малых величин с пределами можно записать: = + ,где ∆у= т.о приращение ф ∆у состоит из 2х слагаемых:линейного относительного ∆х,нелинейного
Опр.Дифференциалом ф-ции наз главная,линейная отн ∆х часть приращения ф-ции,равная произведению производной на приращение независимой переменной
Пр.Найти диф ф-ции у=х
dy=dx= ∆x dx=∆x т.е диф независимой переменной равен приращению этой переменной.зап в виде dy= )dx )=
Геом смысл дифференциала.
Возьмём на гр ф y=f(x)произвольную т.М(х,у),дадим аргументу х приращение ∆х,тогда ф получит приращение∆у= f(x+∆х)- f(x)
Из ∆MKN:KN=MNtg =∆xtg = )∆x ∆y=KN
Т.о дифференциал ф-ции есть приращение ординаты касательной,проведенной к гр ф в данной т,когда х получает приращение ∆х
С-ва дифференциала
dc=0; d(cu)=c du; d(u )=du d ; d(u )= du+ud ; d( )= ; ;d(ctgx)=
Инвариантность формы дифференциала
Пусть х= у=f(
= ( ) (t)= = (x) )dt
dy= (x)dx
(x) ;
48Дифференциалы высших порядков
Диф порядка ф y=f(x) наз диф от дифференциала (n-1)ого порядка этой ф,т.е y=d( y)Найдём выражение . По опред .Так как dх не зависит от х,т.е по отн к переменной х является постоянной величиной,то множитель dх можно вынести за знак диф-ала,т.е в общем виде:
Диф-ал n порядка равен произведению производной n порядка на n степень диф-ала независимой переменной
49.Дифференцирование ф-ции заданной параметрически.
Опр.Пусть зависимость между переменными х и у задана с поощью 2х ур-ий: х=х(t);у=у(t)(*)
Пусть ур-е х=х(t) разрешимо отн t ,т.е t выражается через х с помощью ур-я t=t(x).Подставляя значения в ур-е у=у(t) получим зав-ть от х: у=у(t(х))в этом случае система ур-ий (*) наз параметрическим заданием ф у=у(х),а аргумент t наз параметр
Предположим,что х(t),у(t)достаточное число раз диф, тогда найдем сист. Ур-ий: так параметрически задается 1 производная
Вычисл 2й производной по х( : =
=
Пр:Найти ф-ции у=у(х),заданной параметрически:
a=const = = =ctg t/2
= = = =-
= =
При каждом диф не нужно забывать делить на
50.Основные теоремы диф-ого исчисления
Теор Ролля: Пусть для f: [a,b]→𝑅 выполняется:
1)f(x) непрерывна на [a,b]
2) f(x) диф-ма на (а,в)
3)f(a)=f(b),тогда сущ-ет т. (а,в),такая что f( )=0т.е сущ-ет касателная к кривой у= f(x)║оси х
Теор Коши для диф-мых ф-ций
Пусть f: [a,b]→𝑅 и g: [a,b]→𝑅 удовл условия:
1)f(x),g(x) непрерывны на (а,в)
2) f(x),g(x) диф-мы на [a,b], тогда сущ-ет т. (а,в),такая что
Док-во:рассмотрим вспомогательную ф
(*)h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)
h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)= f(b)g(a)-f(a)g(a)-g(b)f(a)+g(a)f(a)=f(b)g(a)-g(b)f(a)
h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(a)-g(b)]f(b)= f(b)g(b)-f(a)g(b)-g(b)f(b)+g(a)f(b)=f(b)g(a)-g(b)f(a)
h(a)=h(b)удовл всем усл. Т.Ролля,тогда сущ-ет т. (а,в),такая что а’(Ѯ)=0
диф выр-ие (*)[f(b)-f(a)]g’(Ѯ)-[g(b)-g(a)]f ’(Ѯ)=0
Теор Лагранжа: Пусть для f: [a,b]→𝑅 выполняется:
1)f(x) непрерывна на [a,b]
2) f(x) диф-ма на (а,в),тогда сущ-ет т. (а,в),такая что
f(b)-f(a)=f ’(Ѯ)(b-a)-формула Лагранжа
Док-во: Положим g(x)≡x по т.Коши
Геом интерпритация:касательная ║хорде tg совпадает
Теор:Формула Коши
Пусть f: [a,b]→𝑅 и g: [a,b]→𝑅 удовл условия:
1)f(x),g(x) непрерывны на [a,b]
2) f(x),g(x) диф-мы на (а,в)
3)Для всех х (а,в) выполняется g’(х)≠0, тогда сущ-ет т. (а,в),такая что =
Док-во:по т.Коши для диф-мых ф сущ-ет т.Ѯ такая, что
[f(b)-f(a)]g’(Ѯ)-[g(b)-g(a)]f ’(Ѯ),где g’(Ѯ)≠0
Мы утв g(b)-g(a)≠0,предположим,что это не так, то вып усл по т.Ролля сущ-ет т.х (а,в) и g’(х)=0, что не удовл нашей теории, тогда g(b)-g(a)≠0 = чтд