Правила интегрирования способом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подинтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подинтегральной функции нужно заменить

новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифферен-

циал старой переменной (или выражение, содержащее этот диффе-

ренциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате переходят к старой переменной.

Примеры решения интегралов способом подстановки:

1. Найти : ∫ х²(3+2х ) dx

Решение:

сделаем подстановку 3+2х = t

Найдём дифференциал обеих частей подстановки:

6x dx = dt, откуда

х²dx = dt.

Следовательно:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Заменив t на его выражение из подстановки, получим :

∫ x (3+2x ) dx = (3+2x ) + С

2. Найти:

Решение :

= = ∫ е = е + C = е + C

3. Найти:

Решение:

4. Найти

Решение:

5. Найти:

Решение:

6. Найти:

Решение:

Рекомендации по выполнению третьего задания домашней контрольной работы по теме «Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла»

Понятие определённого интеграла.

Разность значений для любой первообразной функции при изменении аргумента от до называется определенный интегралом этой функции в пределах от а до b и обозначается:

а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:

1. Найти соответствующий неопределенный интеграл

2. Подставить в полученное выражение вместо х сначала верхний предел интегрирования в, а затем нижний – а.

3. Из первого результата подстановки вычесть второй.

Коротко это правило записывается в виде формул так:

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла:

1. , где K=const

2. 

3. Если , то

4. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то

5.

При замене в определенном интеграле старой переменной интегрирования на новую необходимо старые пределы интегрирования заменить новыми. Эти новые пределы определяются выбранной подстановкой.

Применение определённого интеграла.

Площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой , не меняющей свой знак на , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:

С помощью определенного интеграла можно решать и ряд физических задач.

Например:

--Если скорость прямолинейно движущегося тела является известной функцией времени t, то путь S, пройденный этим телом с момента времени t = t₁ до момента времени t = t₂ определяется формулой:

--Если переменная сила является известной функцией пути S (при этом предполагается, что направление силы не меняется) то работа А, совершаемая этой силой на пути от до определяется формулой:

Примеры:

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = ; y = ( x-2 )² ; 0x.

Решение :

а) Построим графики функций: y = ; y = ( x-2 )²

б) Определим фигуру, площадь которой нужно вычислить.

в) Определим пределы интегрирования, решая уравнение: = ( x-2 )² ; x = 1 ;

г) Вычисляем площадь заданной фигуры:

S = dx + ² dx = 1 ед²

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями :

Y = x² ; x = y² .

Решение :

x ² = ; x ⁴ = x ;

x ( x ³ – 1 ) = 0

x₁ = 0 ; x₂ = 1

S = - x²) dx = ( x^3\2 - ) │₀¹ = ед²

3. Вычислить объём тела , полученного вращением вокруг оси 0x фигуры , ограниченной линиями : y = ; x = 1 .

Решение:

V = π dx = π )² dx = π = π │ = π/2 ед.³