Рекомендации по выполнению первого задания домашней контрольной работы по теме «Линейная алгебра»

1. Элементы теории матриц.

Понятие матрицы.

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит «m» - строк и «n» - столбцов.

Для записи матрицы используется следующее обозначение:

- это прямоугольная матрица типа

aij- обозначается любой элемент матрицы,

где i – номер строки; i=1,2,…,m

j –номер столбца; j=1,2,…,n.

Виды матриц.

• Если у матрицы число строк не равно числу столбцов (т.е. ), то матрица называется прямоугольной.

• Если у матрицы число строк равно числу столбцов (т.е. ), то матрица называется квадратной порядка «n».

Диагональ, содержащая элементы

a₁₁; a₂₂; …; a_nn называется главной.

Диагональ, содержащая элементы

a_1n; a_2n-1; …; a_n1 называется побочной или вспомогательной.

• Если у матрицы отличны от нуля только элементы главной диагонали, то она называется диагональной.

• Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единицы, то она называется единичной и обозначается:

• Если все элементы матрицы равны нулю, то она называется нулевой и обозначается:

• Если в прямоугольной матрице , m=1, то она называется матрица-строка:

• Если в прямоугольной матрице , n=1, то она называется матрица-столбец:

Равенство матриц:

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое строение, т.е. одинаковое число строк «т» и одинаковое число столбцов «п» и их соответствующие элементы равны, т.е. a_{i j} = b_{i j} .

Транспонирование матриц:

Если в матрице А типа переставить строки со столбцами, то получим матрицу А^Т типа , которая называется транспонированной:

2. Линейные операции над матрицами.

1. Суммой матриц А и В называется матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение.

На сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

• Переместительный закон

А+В=В+А

• Сочетательный закон

(А+В)+С=А+(В+С), где

А, В, С – квадратные матрицы одного порядка, либо прямоугольные типа .

Примеры:

Сложить матрицы:

а). и

б). и

в). и

Решение:

а).

б).

в). Сложить нельзя, так как матрицы имеют разное строение.

2. Произведением матрицы А на число k называется такая матрица , каждый элемент которой равен , т.е. если , то

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Примеры:

Дана матрица : , k = 3. Найти матрицу kA.

Решение:

3. Матрица (-А) называется противоположной для матрицы А, если А+(-А)=0

Для нахождения противоположной матрицы умножаем матрицу А на .

Примеры:

а) Дана матрица

Найти матрицу, противоположную матрице А.

Решение:

Умножим матрицу А на

б) Найти линейную комбинацию 3А-2В, если

;

Решение:

Сначала находим произведение А на k₁ =3 и В на k₂ = -2:

;

Теперь найдем сумму полученных матриц:

4. Умножение матриц.

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка

Пусть:

_,

Произведениям этих матриц называется матрица:

Чтобы найти элемент С₁₁ первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. в₁₁ и в₂₁) и полученные произведения сложить:

С₁₁= а₁₁b₁₁+а₁₂b₂₁

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы – произведения, нужно все элементы i-й строки (а_i1; а_i2; …;а_in) матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца (b_1j; b_2j;…; b_nj) матрицы В и полученные произведения сложить.

Свойства умножения матриц:

1) АВ ≠ ВА, т.е. не выполняется переместительный закон

2) Выполняется сочетательный закон:

3) Выполняется распределительный закон:

4) Известно, что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если

, , то

5) Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

а) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

б) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Пример:

Найти произведение матриц А и В, если

,

Решение: