4. Обратная матрица

Квадратная матрица А называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем:

1. Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется обратимой.

2. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы.

3. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

• Находят определитель матрицы А.

• Находят алгебраические дополнения всех элементов а_ij матрицы А и записывают из них новую матрицу.

• Транспонируют матрицу (т.е. меняют местами столбцы со строками)

• Умножают полученную матрицу на

Примеры:

1. Найти матрицу, обратную матрице

Решение:

Находим определитель матрицы А:

Т.к. D≠0, то данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица.

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента:

= ; ;

Тогда получим матрицу:

Транспонируем эту матрицу:

Умножим полученную матрицу на , т.е. на :

Проверим полученный ответ. Выполнив умножение , находим:

2. найти матрицу, обратную матрице:

Решение:

Находим определитель матрицы А:

Т.к. D≠0, то матрица А является невырожденной, а значит можно найти матрицу А^-1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

;

;

;

;

Запишем новую матрицу:

Транспонируем полученную матрицу:

Умножив полученную матрицу на , находим:

5. Решение систем линейных уравнений тремя способами.

Решить систему линейных уравнений тремя способами: матричным, по формулам Крамера и методом Гаусса.

1. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

матрицы – столбцы из свободных членов и неизвестных:

;

Тогда, заданную систему уравнений можно записать в матричном виде:

АX=В – это называется простейшее матричное уравнение.

Решим это матричное уравнение:

Пусть матрица А-невырожденная (т.е. D(А)≠0), тогда существует обратная матрица А^-1. Умножив на неё обе части матричного уравнения, получаем:

Т.к. и , получим:

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение нужно:

1. Найти обратную матрицу А^-1

2. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу – столбец свободных членов т.е.

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Решим заданную систему линейных уравнений:

1. Находим обратную матрицу А^-1:

Найдем определитель матрицы А:

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

; ;

; ;

; ;

Запишем матрицу:

Транспонируем её:

Запишем обратную матрицу, учитывая, что

2. Умножим матрицу А^-1 на матрицу В:

3. Т.к. , то по определению равных матриц получим: x=1; y=2; z=3